Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 30. 11. 2015 22:44 — Editoval Anonymystik (30. 11. 2015 22:49)
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Nalezněte tvar trajektorie
Úloha, co jsem nedávno někde našel a docela mě zaujala, tak se o ni s vámi chci podělit:
--
Uvažme člověka běžícího rovnoměrně přímočaře rychlostí 
ve směru osy 
. V čase 
probíhá počátkem souřadnic. V téže chvíli vyběhne z pozice ![$[1,0]$](/mathtex/91/91a3ccdf14346c86322c0b6d2675b569.gif "kopírovat do textarea")
pes rychlostí ve snaze člověka dohnat. Tuto rychlost si i nadále drží. Běží za ním tak, že v každém okamžiku míří přímo k němu - což psa nutí průběžně měnit směr běhu. Otázka zní: jaký tvar bude mít trajektorie, po níž pes poběží? Dokážete nalézt její analytický předpis?
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#2 01. 12. 2015 08:13
Re: Nalezněte tvar trajektorie
↑ Anonymystik:
Dobrý den.
Tvar křivky "tratrix", jíž se asi z uvedeného důvodu přezdívá též "psí křivka".
Pokud se tedy nemýlím.
Offline
#3 01. 12. 2015 12:08 — Editoval Anonymystik (01. 12. 2015 12:11)
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Nalezněte tvar trajektorie
↑ Jj: Traktrix a pronásledovací křivka nejsou totéž. Traktix je křivka, která vznikne, pokud tahám nějaký předmět za sebou (a sám jdu po přímce). Předmět je v konstantní vzdálenosti ode mě. Kdežto pohyb psa je charakterizovaný něčím jiným (že jeho rychlost je konstantní). Oba pohyby mají společné pouze to, že v daném okamžiku míří pohyb předmětu i psa přímo ke mě. Jinak se ale jedná o něco jiného. ;-)
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#4 01. 12. 2015 13:37
Re: Nalezněte tvar trajektorie
Ahoj,
Tu mas nieco o tom http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html
Na Webe najdes o mnoho viac ( problem zaujimal uz L.da Vinci).
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#5 01. 12. 2015 13:53
Re: Nalezněte tvar trajektorie
Anonymystik napsal(a):
↑ Jj: Kdežto pohyb psa je charakterizovaný něčím jiným (že jeho rychlost je konstantní).
To bych neřekl - mění se směr jeho rychlosti, tzn. je tu zrychlení.
Pokud se tedy nemýlím.
Offline
#6 01. 12. 2015 14:26 — Editoval Rumburak (01. 12. 2015 14:44)
Re: Nalezněte tvar trajektorie
![$[ 0 , vt]$](/mathtex/ec/ecff652a7a36fc8914a20ce2913958c4.gif "kopírovat do textarea")
, trajektorie psa je ![$[x(t) , y(t)]$](/mathtex/2b/2b2de96de3979077a6c71c5ade5aa35a.gif "kopírovat do textarea")
. Uvažujeme 
. ![$[x(0) , y(0)] = [1, 0]$](/mathtex/51/5187837931d3a183c223b9334b02e9b3.gif "kopírovat do textarea")
,![$[x'(t) , y'(t)] = \lambda(t) [0 - x(t), vt - y(t)] , \lambda(t) > 0$](/mathtex/84/847d473ded2b4e2b3da26720fc42bd7b.gif "kopírovat do textarea")
,
.Offline
#7 01. 12. 2015 18:52
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Nalezněte tvar trajektorie
↑ Jj: No já nebral v té větě rychlost jako vektor, ale jako skalár. Mohl jsem to napsat jako "absolutní velikost jeho rychlosti je konstantní", ale přišlo mi to hrozně šroubovité.
↑ vanok: njn, ale je to trochu škoda, když hned hodíš odkaz na stránku, kde je hotové řešení. Navíc tam stejně ani není celé - jednak tam řešení diferenciální rovnice "uhodnou", jednak nedopočítají integrační konstanty.
↑ Rumburak: jj, ale není zrovna jednoduché tuto soustavu vyřešit. V tom právě spočívá challenge této úlohy. ;-)
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#8 01. 12. 2015 20:21
Re: Nalezněte tvar trajektorie
↑ Anonymystik:,
Ano ale na internete toho najdes este vela. To by bola pekna praca to dat vsetko do kopy.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#9 18. 01. 2016 22:55
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Nalezněte tvar trajektorie
Tak já jsem se pokusil něco sepsat. Třeba to někoho zaujme:
http://ulozto.cz/x1QNq8tV/krivkapronasledovani-pdf
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#10 19. 01. 2016 16:30
Re: Nalezněte tvar trajektorie
Ahoj ↑ Anonymystik:,
Dobre si urobil.
Tu mas doplnujuce citanie.
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Courbe_du_chien
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline