Matematické Fórum

RadekF · 01. 12. 2015 21:13

Dobrý večer,

mám příklad : $\int_{}^{}\frac{\sin 2x}{1+\sin ^{4}x}dx$ a na procvičení si ho máme spočítat
pomocí substituce 1) $tg x=t$
2) $\sin x=t$
3) $\cos x=t$

takže za 1)

$\int_{}^{}\frac{\sin 2x}{1+\sin ^{4}x}dx$ = $\int_{}^{}\frac{2\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx$ = $2\int_{}^{}\frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx$

substituce : $\text{tg}x=t$ ... $x=\text{cotg}t$ ... $dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt$

za $\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}$ a za $\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}$

takže po dosazení $2\int_{}^{}\frac{\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}}{1+(\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}})^{4}}\cdot \frac{1}{1+t^{2}}dt$

a po snad správných úpravách jsem dostal : $2\int_{}^{}\frac{t}{2t^{4}+2t^{2}+1}$ a teď nevím co dál, napadlo mě doplnění na čtverec, ale nevím jestli to k něčemu bude. díky za rady

za 2) a za 3) jsem ještě nezkoušel..

díky.

Jj · 01. 12. 2015 21:48

↑ RadekF:

Dobrý večer.

Ano - doplnění na čtverec, ale až po další substituci:

$t^2=z, \quad 2t \,dt = dz$

RadekF · 02. 12. 2015 07:49

po substituci dostanu $2\int_{}^{}\frac{t}{2z^{2}+2z+1}\cdot \frac{dz}{2t}=\int_{}^{}\frac{1}{(\sqrt{2}z+\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{1}{2}}dz$ a teď moc nevím, po dalších úpravách mi to nevychází

Freedy · 02. 12. 2015 08:05

Ahoj,

nyní daný integrál uprav tak, aby si dostal ve jmenovateli +1, tedy:
$2\int_{}^{}\frac{1}{(2z+1)^2+1}\text{dz}$ a zaveď substituci:
$2z+1=u$ potom $2\text{dz}=\text{du}$ a tedy:
$2\int_{}^{}\frac{1}{(2z+1)^2+1}\text{dz}=\int_{}^{}\frac{1}{u^2+1}\text{du}$ což je tabulkový integrál

RadekF · 02. 12. 2015 08:06

jinak za 2) pomocí substituce sin x = t mi to vyšlo dobře, jen chci poprosit o zkontrolování postupu :

$2\int_{}^{}\frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^{4}x}dx$ $\text{sub.:}\sin x=t\ldots \ldots dx=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}$
$2\int_{}^{}\frac{t\cdot \sqrt{1-t^{2}}}{1+t^{4}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}=2\int_{}^{}\frac{t}{1+t^{4}}\ldots \text{sub.:}t^{2}=a\ldots dt=\frac{da}{2t}$
$2\int_{}^{}\frac{t}{a^{2}+1}\cdot \frac{da}{2t}=arctg(a)=arctg(t^{2})=arctg(\sin ^{2}x)$

RadekF · 02. 12. 2015 08:26

↑ Freedy: tabulkový integrál = $arctg(u)=arctg(2z+1)=arctg(2t^{2}+1)=arctg(2tg^{2}x+1)$ a jde to teď upravit na : $arctg(\sin ^{2}x)$ ? děkuji

Jj · 02. 12. 2015 10:03 — Editoval Jj (02. 12. 2015 10:21)

↑ RadekF:

K ad 2)
- řekl bych, že řešení je v pořádku (nezapomínejte psát v integrálech diferenciál dt),
- o něco přehlednější bude nevyjadřovat x pomocí arcsinu, ale hned derivovat:

$\sin x = t \Rightarrow \color{blue}\cos x \,dx = dt$

$I=\int \frac{2\sin x\color{blue}\cos x\,dx}{1+\sin ^4x}\Rightarrow \int \frac{2t\color{blue}\, dt}{1+(t^2)^2}=\text{arctg } t^2\Rightarrow I = \text{arctg } (\sin^2x) + C$

RadekF · 02. 12. 2015 13:19

↑ Jj: Dobře , děkují vám.

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2015 21:13

integrace goinometrických funkcí

#2 01. 12. 2015 21:48

Re: integrace goinometrických funkcí

#3 02. 12. 2015 07:49

Re: integrace goinometrických funkcí

#4 02. 12. 2015 08:05

Re: integrace goinometrických funkcí

#5 02. 12. 2015 08:06

Re: integrace goinometrických funkcí

#6 02. 12. 2015 08:26

Re: integrace goinometrických funkcí

#7 02. 12. 2015 10:03 — Editoval Jj (02. 12. 2015 10:21)

Re: integrace goinometrických funkcí

#8 02. 12. 2015 13:19

Re: integrace goinometrických funkcí

Zápatí