Matematické Fórum

slender · 03. 12. 2015 11:21

Zdravím vespolek,
řeším úlohu s následujícím zadáním:

Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném navlečení 9 červených, 8 modrých a 3 zelených korálků na vlasec nebude žádný červený a modrý vedle sebe?

Zatím mě napadly dvě možné cesty, kterými se vydat:

Buď se snažit z celkového počtu různých navlečení:
$(9+8+3)! \over 9! \cdot 8! \cdot 3!$

odečíst velikosti množin slov, které obsahují alespoň dva červené nebo dva modré sousedící korálky, zde jsem však uvízl v tom, že neumím takovou množinu vyjádřit.

Pak mě ještě napadlo se pokusit pracovat s mezerami, které je potřeba mezi červenými (resp. modrými) korálky vyplnit, aby nesousedily. Tady ale také nevím, jak dál.

Mohl byste mě někdo prosím pošťouchnout správným směrem? Díky...

slender · 03. 12. 2015 11:25

Ještě jsem objevil řešení podobné úlohy, nicméně s podmínkou pouze u jedné barvy. Nějak mě ale nenapadá, jak ji rozšířit pro potřebu této úlohy.

slender · 03. 12. 2015 20:05

Teď koukám, že jsem si úlohu přečetl špatně a celou dobu tím pádem přemýšlel špatně. Neporadíte mi náhodou někdo prosím, jak spočítat prvky v množině permutací, ve které je vedle sebe alespoň jedna červená a jedna modrá kulička? Předpokládám, že tam bude potřeba princip inkluze a exkluze...

check_drummer · 03. 12. 2015 22:57

↑ slender: Ahoj. Uvažuj červenou a modrou jako jeden nedělitelný "dvojprvek".

slender · 03. 12. 2015 23:32

↑ check_drummer: Díky, to bude ono.

Šlo by to takto?

Vyjádřím si množinu $A$ , která bude sjednocením podmnožin $A_i$ , kde $i$ označuje počet dvojic červené a modré kuličky. Potom:

$|A_i| = \frac{(20-i)!}{(9-i)!\cdot (8-i)!\cdot 3!}$

Mohutnost $A$ pak spočítám principem inkluze a exkluze. Výsledkem pak vydělím velikost množiny všech permutací.

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2015 11:21

Náhodné seřazení tak, že nesmějí být dva stejné prvky vedle sebe

#2 03. 12. 2015 11:25

Re: Náhodné seřazení tak, že nesmějí být dva stejné prvky vedle sebe

#3 03. 12. 2015 20:05

Re: Náhodné seřazení tak, že nesmějí být dva stejné prvky vedle sebe

#4 03. 12. 2015 22:57

Re: Náhodné seřazení tak, že nesmějí být dva stejné prvky vedle sebe

#5 03. 12. 2015 23:32

Re: Náhodné seřazení tak, že nesmějí být dva stejné prvky vedle sebe

Zápatí