Matematické Fórum

Elisa · 05. 12. 2015 20:49

Dobrý den, jak prosím na tuhle rovnici?
$2\sin ^{2}x+\cos ^{2}x+\sin x\cos x=1$
Mohu použít vzorec $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ ? Ale co s tou 2 před sinem?
Děkuji

misaH · 05. 12. 2015 20:58

↑ Elisa:

$2\sin ^{2}x=\sin^{2}x+\sin^2x$

Elisa · 05. 12. 2015 21:25

↑ misaH:
Děkuji a jak se prosím vyřeší tato?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/47093_20151205_212241.jpg

Al1 · 05. 12. 2015 22:27

↑ Elisa:

Zdravím,

někdy se goniometrické rovnice řeší i neekvivalentní úpravou umocnění, je pak nutné řešit zkoušku

$\sin x\cos x=\cos ^{2}x-2\nl \sin ^{2}x\cos ^{2}x=(\cos ^{2}x-2)^{2}$ , po úpravě pravé strany je ještě třeba vlevo užít $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ , dále upravit a řešit po substituci kvadratickou rovnici. Neměla by mít v R řešení.

Elisa · 05. 12. 2015 22:55

Děkuji a u téhle prosím?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/52473_20151205_224945.jpg

rvyrut · 05. 12. 2015 23:03 — Editoval rvyrut (05. 12. 2015 23:04)

$(\sin^2 x + \cos^2 x)^3= \sin^6 x +3 \sin^4 x\cos^2 x + 3\sin^2 x \cos^4 x + \cos^6 x$

tedy

$\sin^6 x + \cos^6 x=(\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3 \sin^4 x\cos^2 x - 3\sin^2 x \cos^4 x =1^3 - 3 \sin^2 x \cos^2 x (\sin^2 x + cos^2 x)=\\1-3\sin^2 x\cos^2 x$

Elisa · 05. 12. 2015 23:41

Děkuji a jak se to prosím dokončí?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/55305_20151205_234017.jpg

rvyrut · 05. 12. 2015 23:48

$1=4\sin^2 x \cos^2 x$

$1=(2\sin x\cos x)^2$
$1=\sin^2 2x$
$\sin 2x =\pm 1$

Elisa · 06. 12. 2015 00:09

Mockrát děkuji a toto?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/56934_20151206_000754.jpg

rvyrut · 06. 12. 2015 00:33

↑ Elisa:

$\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = \sin x - \sin \frac{\pi}{6}$
$\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 2\sin \frac{x-\frac{\pi}{6}}{2} \cos \frac{x+\frac{\pi}{6}}{2}$
$2\sin \frac{x-\frac{\pi}{6}}{2} \cos \frac{x-\frac{\pi}{6}}{2}=2\sin \frac{x-\frac{\pi}{6}}{2} \cos \frac{x+\frac{\pi}{6}}{2}$
$2\sin \frac{x-\frac{\pi}{6}}{2} \left( \cos \frac{x-\frac{\pi}{6}}{2} - \cos \frac{x+\frac{\pi}{6}}{2}\right) = 0$

Elisa · 06. 12. 2015 00:37

↑ rvyrut:
Moc děkuji a jak se prosím upraví ta levá strana?

rvyrut · 06. 12. 2015 00:50

co použít vzorec $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

Elisa · 06. 12. 2015 09:34

↑ rvyrut:
A proč se prosím nepoužije vzorec
$\sin x\cos y-\cos x\sin y$ ?

Al1 · 06. 12. 2015 09:44 — Editoval Al1 (06. 12. 2015 09:58)

↑ Elisa:

a v jakém řádku výpočtu kolegy rvyrut hledáš úpravu levé strany? Úplně na začátku
$\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = \sin x - \sin \frac{\pi}{6}$ nebo na samém konci? $2\sin \frac{x-\frac{\pi}{6}}{2} \left( \cos \frac{x-\frac{\pi}{6}}{2} - \cos \frac{x+\frac{\pi}{6}}{2}\right) = 0$

V původní rovnici je levá strana spočítána tak, že
$\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right) =\sin\bigg[2\bigg(\frac{x-\frac{\pi}{6}}{2}\bigg)\bigg]$

a je užit vztah pro $\sin(2x)$

Elisa · 06. 12. 2015 10:05

Děkuji, takže ta dvojka v argumentu se pak může dát před sinus?

misaH · 06. 12. 2015 11:05 — Editoval misaH (06. 12. 2015 11:06)

↑ Elisa:

Nie.

Na dvojnásobný argument je vzorec.
Al1 ťa upozorňuje.

$\sin 2x= 2\sin x \cos x$

Elisa · 06. 12. 2015 11:18

Moc děkuji a jak se prosím vyřeší tohle?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/97113_20151206_111703.jpg

Al1 · 06. 12. 2015 11:24

↑ Elisa:

Na červený rámeček použij spíše to, že vše převedeš na jednu stranu, na druhé necháš nulu a pak užiješ vztah
$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

Elisa · 06. 12. 2015 11:29

Děkuji a když ta 2 je před závorkou a roznásobí oba členy?

vanok · 06. 12. 2015 11:31

Ahoj ↑ Elisa:,
To co mas v cervenom ramecku ma mnozinu rieseni $\{x|x=2\pi n ,n\in Z \}$

Al1 · 06. 12. 2015 11:37

↑ Elisa:

a když ta 2 je před závorkou a roznásobí oba členy?

dám příklad jednodušší na zapsání

$2x(x-4)=0$

Buď roznásobíš a pak samozřejmě se číslem 2 násobí všechny členy v závorce a dostaneš $2x^{2}-8x=0$

Nebo se na rovnici v součinové tvaru podíváš tak, že se naopak číslem 2 dá celá rovnice vydělit

$x(x-4)=0$

a pak jen řešíš, kdy je součin roven nule.

Elisa · 06. 12. 2015 11:54

Mokrát všem děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2015 20:49

goniometrická rovnice

#2 05. 12. 2015 20:58

Re: goniometrická rovnice

#3 05. 12. 2015 21:25

Re: goniometrická rovnice

#4 05. 12. 2015 22:27

Re: goniometrická rovnice

#5 05. 12. 2015 22:55

Re: goniometrická rovnice

#6 05. 12. 2015 23:03 — Editoval rvyrut (05. 12. 2015 23:04)

Re: goniometrická rovnice

#7 05. 12. 2015 23:41

Re: goniometrická rovnice

#8 05. 12. 2015 23:48

Re: goniometrická rovnice

#9 06. 12. 2015 00:09

Re: goniometrická rovnice

#10 06. 12. 2015 00:33

Re: goniometrická rovnice

#11 06. 12. 2015 00:37

Re: goniometrická rovnice

#12 06. 12. 2015 00:50

Re: goniometrická rovnice

#13 06. 12. 2015 09:34

Re: goniometrická rovnice

#14 06. 12. 2015 09:44 — Editoval Al1 (06. 12. 2015 09:58)

Re: goniometrická rovnice

#15 06. 12. 2015 10:03 Příspěvek uživatele Elisa byl skryt uživatelem Elisa. Důvod: chyba

#16 06. 12. 2015 10:05

Re: goniometrická rovnice

#17 06. 12. 2015 11:05 — Editoval misaH (06. 12. 2015 11:06)

Re: goniometrická rovnice

#18 06. 12. 2015 11:18

Re: goniometrická rovnice

#19 06. 12. 2015 11:24

Re: goniometrická rovnice

#20 06. 12. 2015 11:29

Re: goniometrická rovnice

#21 06. 12. 2015 11:31

Re: goniometrická rovnice

#22 06. 12. 2015 11:37

Re: goniometrická rovnice

#23 06. 12. 2015 11:50 Příspěvek uživatele Elisa byl skryt uživatelem Elisa. Důvod: chyba

#24 06. 12. 2015 11:54

Re: goniometrická rovnice

Zápatí