Matematické Fórum

malarad · 06. 12. 2015 12:09

Ahoj, vím, že tento integrál povede na logaritmus $\int_{}^{}\frac{1/2}{x-1}dx$ = $\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{x-1}dx$ = $\frac{1}{2}ln|x-1|+C$

šlo by převést $\int_{}^{}\frac{1/2}{x-1}dx$ tento příklad i na arctg? To znamená dostat to do tvaru $\int_{}^{}\frac{1}{()^{2}+1}dx$ ?
Já myslím, že ne, protože bychom museli mít ve jmenovateli něco jako $x^{2}$ a to znamená tedy vynásobit iksem i čitatele, což nejde, když potřebujeme mít v čitateli jen jedničku. Já jen, jestli neexistuje nějaký trik.
děkuji

Bati · 06. 12. 2015 14:09

Ahoj,
tak jak to popisuješ to nepůjde.

Nicméně určitý souvislosti mezi logaritmem a arkustangensem existují, ale musíš jít kvůli tomu do komplexních čísel. Komplexní logaritmus se definuje jako $\text{Log}\,{z}=\ln|z|+\text{Arg}\,z$ , kde $\text{Arg}$ značí argument, tj. úhel z (který je určený až na celočíslený násobek $2\pi$ ). A my víme, že ten úhel se dá taky spočítat pomocí arkustangensu z podílu $\text{Im}\,{z}$ a $\text{Re}\,{z}$ . Další souvislost může být vidět např. u těch integrálů, když budu formálně počítat tenhle integrál:
$\arctan{x}=\int\frac1{1+x^2}=\int\frac1{(x-i)(x+i)}=\frac1{2i}\int\left(\frac1{x-i}-\frac1{x+i}\right)=\frac1{2i}\;\text{''log''}\,\frac{x-i}{x+i}$ .

malarad · 06. 12. 2015 15:07

↑ Bati:
díky :-)

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2015 12:09

Integrál

#2 06. 12. 2015 14:09

Re: Integrál

#3 06. 12. 2015 15:07

Re: Integrál

Zápatí