Matematické Fórum

ashlystar01 · 07. 12. 2015 15:22

Ahoj lidičky, našel by se prosím někdo, kdy by mi byl schopný pomoci s touto limitou?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/97885_2015-12-07-14-04-36.png

Jj · 07. 12. 2015 16:25

↑ ashlystar01:

Dobrý den.

Nebo ještě - podobný příklad je řešen tady: Odkaz (rada kolegyně jeleny).

ashlystar01 · 07. 12. 2015 17:14

↑ Jj:

super, dekuji :) Tím pádem by to mohlo být takhle? Výsledek -1?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/04783_2015-12-07-17-11-35.png

Jj · 07. 12. 2015 17:39

↑ ashlystar01:

To je limita 'vnější' funkce podle rady kolegyně jeleny.

To zn. ještě určit limitu 'vnitřní' funkce $\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{3}{x^2-1}\right)^{x^2-1}$ (což už by zřejmě nemusel být problém) a tu umocnit na (-1, = limita vnější funkce).

ashlystar01 · 07. 12. 2015 18:40

↑ Jj:

Ahá, tím pádem postupuji takto:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/09785_2015-12-07-18-35-57.png
a dostanu

a teď nevím jak postupovat dál

Jj · 07. 12. 2015 19:10

↑ ashlystar01:

Tím pádem právě ne.
Řekl bych, využít tabulkovou limitu: $\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$ , e = Eulerovo číslo

$\Rightarrow \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{3}\cdot 3} = e^3$

a obdobně

$\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{3}{x^2-1}\right)^{x^2-1}=e^3$

takže původní limita postupem podle rady kolegyně jeleny:

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x^2-1}\right)^{1+x-x^2}=\lim_{x\to\infty}\left(\color{blue}\left(1+\frac{3}{x^2-1}\right)^{x^2-1}\color{black}\right)^\frac{1+x-x^2}{x^2-1}=$

$=\lim_{x\to\infty}\left(\color{blue}e^3\color{black}\right)^{-1}=\frac{1}{e^3}$