Matematické Fórum

Ondrik_B · 12. 12. 2015 10:32

Ahoj, priklad ma zadani: vypoctete moment setrvacsnoti homogeni koule o polomeru R a hmotnosti M, vzhledem k ose prochazejici jejim hmotnym stredem.

Priklad se samozrejme resi integraci, dle vztahu: $I= \int_{m}^{} r^2 dm$

Priklad jsem vyresil, pri integraci pres sfericke souradnice. Chtel bych se to vsak naucit i pres kartezske souradnice. Nastinim muj postup, ktery nevedkl k uspechu.

$dm=dxdydz$ (jeste zde chybi hustota ale tu jsem BUNO vynechal)
$r= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
$\int_{-R}^{R}\int_{-R}^{R}\int_{-R}^{R} (x^2 + y^2 + z^2)dxdydz$
$\int_{-R}^{R}\int_{-R}^{R}\int_{-R}^{R}x^2dxdydz + \int_{-R}^{R}\int_{-R}^{R}\int_{-R}^{R}y^2dxdydz \int_{-R}^{R}\int_{-R}^{R}\int_{-R}^{R}z^2dxdydz$

Coz nevede ke spravnemu reseni. Prosim o radu kde delam chybu.

pozn. spravne reseni je $I=\frac{2}{5}MR^2$

Dik y.

Jj · 12. 12. 2015 11:47

↑ Ondrik_B:

Dobrý den.

Myslím, že jste uvedeným integrálem mohl (asi) spočítat moment setrvačnosti krychle.

Řekl bych, že moment setrvačnosti koule by se zřejmě počítal integrálem

$\int_{-R}^{R}\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\int_{-\sqrt{R^2-x^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} (x^2 + y^2 + z^2)\,dz\,dy\,dx$

což bych tedy v kartézských souřadnicích počítat nechtěl.

Ondrik_B · 12. 12. 2015 12:17

↑ Jj:
Ano to me taky napadlo, ze to bude spis krychle. Ale nenapadlo me, jak ty meze urcit. (od R k R mi prislo intuitivni) Jak jste prisel na tyto meze. (O samotnou integraci mi nejde, chci spis pochopit to 'sestaveni' integralu)