Matematické Fórum

bojkot · 18. 05. 2009 17:32

Mám dokázat zda-li je to vektorový podprostor.

Když to neplatí tak uvedu proti příklad,ale jak to mám dokázat když to platí?
Můžu to uvést takhle??

(2a + b ) +( 2c +d )= (2a + 2 c+ b + d) = 2(a + c)+ b + d

x (2a + b) = 2ax + bx = (2a + b) x

prosím reagujte,je to otázka života a smrti...

lukaszh

↑ bojkot:
Aby bola množina $\mathcal{V}$ podpriestor, musí spĺňať toto
$\forall\vec{v}_1,\vec{v}_2\in\mathcal{V}\,:\;\vec{v}_1+\vec{v}_2\in\mathcal{V}\nl\forall k\in\mathbb{R}\;\forall\vec{v}\in\mathcal{V}\,:\;k\cdot\vec{v}\in\mathcal{V}$
Respektíve stačí overiť, že platí
$\forall\vec{v}_1,\vec{v}_2\in\mathcal{V}\;\forall k_1,k_2\in\mathbb{R}\,:\;k_1\cdot\vec{v}_1+k_2\cdot\vec{v}_2\in\mathcal{V}$

Tvoja množina $\mathcal{V}=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3\,|\;2a+b=0\}$ obsahuje vektory tvaru
$\vec{v}=(p,-2p,q)^{\mathrm{T}}$
p,q sú ľubovoľné reálne koeficienty. Tento vektor vo všeobecnom tvare iste patrí do danej množiny. Ľahko si to overíš. Teraz idem overovať, či ľubovoľné dva vektory
$\vec{v}_1=(p_1,-2p_1,q_1)^{\mathrm{T}}\nl\vec{v}_2=(p_2,-2p_2,q_2)^{\mathrm{T}}$
spĺňajú vyššie uvedenú podmienku. Zvolím ľubovoľné $k_1,k_2\in\mathbb{R}$ , potom

Otázkou je, či tento vektor patrí uvedenej množine. Tá množina, je množina tých vektorov, ktorých súčet dvojnásobku prvej zložky a druhej zložky dáva nulu.
$2\cdot(k_1p_1+k_2p_2)+(-2k_1p_1-2k_2p_2)=2k_1p_1+2k_2p_2-2k_1p_1-2k_2p_2=0$
Ide teda o vektorový podpriestor.

bojkot · 18. 05. 2009 22:43

↑ lukaszh:
takže to co jsem napsal já ,je blbost?

Rumburak

↑ bojkot:
Tvé výpočty nejsou "blbost", ale je nejsou z nich vyvozeny patřičné závěry.

Abychom dokázali, že množina V je podprostor, k tomu je třeba ukázat dvě věci (pozměním poněkud Tvé označení):

1. když máme vektory (a,b,c), (A,B,C) takové, že 2a + b = 0 a 2A + B = 0 (tj. mají charakeristickou vlastnost prvků množiny V),
potom vektor (x,y,z) = (a,b,c) + (A,B,C) splňuje 2x + y = 0 (tj. má rovněž charakeristickou vlastnost prvků množiny V) ,

2. když máme číslo k a vektor (a,b,c) takový, že 2a + b = 0 (tj. má charakeristickou vlastnost prvků množiny V) ,
potom vektor (X,Y,Z) = k*(a,b,c) splňuje 2X + Y = 0 (tj. má rovněž charakeristickou vlastnost prvků množiny V) .

Tvé výpočty se při tom uplatní, ale je potřeba z nich odvodit výše uvedená tvrzení.

Body 1. a 2. lze shrnout do bodu jediného - tak, jak to velmi podrobně učinil kolega ↑ lukaszh: .

bojkot · 19. 05. 2009 11:50 — Editoval bojkot (19. 05. 2009 11:51)

↑ Rumburak:
stačí teda to co jsi napsal ty,plus doplním to o jsem napsal já?

Rumburak · 19. 05. 2009 13:28

↑ bojkot:
Musí to mít samozřejmě hlavu a patu.
Například důkaz, že je splněna podmínka 2, bych viděl dejme tomu takto:

2. Nechť je dáno číslo k a vektor (a,b,c) takový, že 2a + b = 0. Označme (X,Y,Z) = k*(a,b,c) .
Potom (X,Y,Z) = k*(a,b,c) = (ka, kb, kc) , tedy X = ka, Y = kb, Z = kc a tudíž
2X + Y = 2ka + kb = k*(2a + b) = k*0 = 0 (neboť výše jsme předpokládali, že 2a + b = 0) .

Důkaz, že je splněna podmínka 1, by se provedl obdobně.

Jak vidíš, Tvoje úprava 2ka + kb = k*(2a + b) se využije, ale je nutno včlenit ji do celkové logické úvahy.

bojkot · 19. 05. 2009 13:58

↑ Rumburak:
díky!

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2009 17:32

vektorové prostory,důkaz

#2 18. 05. 2009 21:58 — Editoval lukaszh (19. 05. 2009 10:12)

Re: vektorové prostory,důkaz

#3 18. 05. 2009 22:43

Re: vektorové prostory,důkaz

#4 19. 05. 2009 09:24 — Editoval Rumburak (19. 05. 2009 09:28)

Re: vektorové prostory,důkaz

#5 19. 05. 2009 11:50 — Editoval bojkot (19. 05. 2009 11:51)

Re: vektorové prostory,důkaz

#6 19. 05. 2009 13:28

Re: vektorové prostory,důkaz

#7 19. 05. 2009 13:58

Re: vektorové prostory,důkaz

Zápatí