Matematické Fórum

blazenx

Ahoj, prosím o pomoc.. jsem z toho příkladu úplně zmatenej.

Děkuju za jakoukoli radu

$\lim_{\to\infty }(1+\frac{3}{2+n})^{5-2n)}$

Al1 · 14. 12. 2015 18:47

↑ blazenx:

Zdravím,

použij $\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n})^{n}=\mathrm{e}^{}$

Způsobů úprav je více, např.
substituce
$\frac{3}{n+2}=\frac{1}{k}, \nl n=3k-2 \nl n\rightarrow \infty ,k\rightarrow \infty$

Freedy · 14. 12. 2015 20:38 — Editoval Freedy (14. 12. 2015 20:39)

Ahoj,

ani nemusíš používat substituci.
Využij vlastností exponenciální funkce:
$\lim_{n\to\infty }\Bigg(\bigg(1+\frac{1}{\frac{2+n}{3}}\bigg)^{\frac{2+n}{3}}\Bigg)^{\frac{5-2n}{\frac{2+n}{3}}}=\lim_{n\to\infty }\text{exp}\Bigg(\frac{5-2n}{\frac{2+n}{3}}\ln \bigg(1+\frac{1}{\frac{2+n}{3}}\bigg)^{\frac{2+n}{3}}\Bigg)$
Díky spojitosti exponenciální funkce, lze vyřešit samostatně limitu v exponentu, tedy
$\lim_{n\to\infty }\frac{5-2n}{\frac{2+n}{3}}\ln \bigg(1+\frac{1}{\frac{2+n}{3}}\bigg)^{\frac{2+n}{3}}$
Limita
$\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{1}{\frac{2+n}{3}}\bigg)^{\frac{2+n}{3}}$ (zde využíváš spojitosti logaritmické funkce, inverzní k funkci exponenciální) jde zřejmě k e, nicméně je potřeba ukázat, zda-li to platí pro n = 3k, n=3k+1, n=3k+2, protože tabulková limita, kterou navrhl kolega ↑ Al1: počítá pouze s přirozenými čísly, zde se však vyskytují čísla racionální.

Limita
$\lim_{n\to\infty }\frac{5-2n}{\frac{2+n}{3}}$ je triviální

Obě limity tedy existují. Jejich součin není nedefinovaný výraz, limita původní posloupnosti tedy existuje také (protože exponenciální funkce je definovaná na celém R). Lze tedy použít větu o aritmetice limit a příklad dokončit.

Al1 · 14. 12. 2015 21:32

↑ Freedy:

Zdravím,

jak jsem napsal, způsobů výpočtu dané limity je více. Pokud uvažujeme proměnnou n, pak se obvykle jedná o limitu posloupnosti, kde se znalost $\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n})^{n}=\mathrm{e}^{}$ jistě uplatnit dá. Upřenit by mohl
↑ blazenx:. Navíc daná limita platí i pro $\lim_{x\to\infty }(1+\frac{1}{x})^{x}$ reálné proměnné x
Odkaz

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2015 18:27 — Editoval blazenx (14. 12. 2015 18:27)

Limita (eulerovo číslo?)

#2 14. 12. 2015 18:47

Re: Limita (eulerovo číslo?)

#3 14. 12. 2015 20:38 — Editoval Freedy (14. 12. 2015 20:39)

Re: Limita (eulerovo číslo?)

#4 14. 12. 2015 21:32

Re: Limita (eulerovo číslo?)

Zápatí