Matematické Fórum

malarad

Ahoj, prosím o radu, jak dál, je tento můj postup správný?

$\int_{}^{}x\sqrt{1-x^{2}} dx$
substituce:
$x=\sin t$
$\frac{dx}{dt}=\cos t$
$dx=\cos t \cdot dt$

$\int_{}^{}x\sqrt{1-x^{2}} dx$ = $\int_{}^{}\sin t\sqrt{1-sin ^{2}t}\ \ \ dt$ = $\int_{}^{}\sin t\sqrt{\cos ^{2}t}\ \ \ dt$ = $\int_{}^{}\sin t\cdot \ |cos t|\ \ \ dt$

OndrasV

↑ malarad: V posl. integrálu je $|\cos t |$ . Co zkusit $t=x^{2}$ ?

malarad · 15. 12. 2015 15:04

↑ OndrasV:
díky, je to takto?
$\int_{}^{}\sin t\cdot \ |cos t|\ \ \ dt$
substituce:
$t=x^{2}$
$\frac{dt}{dx}=2x$
$dt=2x\cdot dx$
$\int_{}^{}\sin t\cdot \ |cos t|\ \ \ dt$ = $\int_{}^{}\sin x^{2}\cdot \cos x^{2}\cdot 2x\ \ \ dx$ = $\int_{}^{}2\sin x^{2}\cdot \cos x^{2}\cdot x\ \ \ dx$ = $\int_{}^{}\sin 2x^{2}\cdot x\ \ \ dx$

OndrasV · 15. 12. 2015 17:10

↑ malarad: Ne, je to: $t=x^{2}$ a $\frac{dt}{dx}=2x$ a $0,5dt=x\cdot dx$ . $\int_{}^{}x\sqrt{1-x^{2}} dx$ = $0,5\int_{}^{}\sqrt{1-t} dt$ = $0,5*(2/3)\sqrt{(1-t)^{3}} dt$ = $1/3\sqrt{(1-x^{2})^{3}} dt$

malarad

↑ OndrasV:
dík
proč jsem to dělal tak složitě?

holyduke · 15. 12. 2015 18:32

a bacha na znamínko

Marian · 15. 12. 2015 18:35 — Editoval Marian (15. 12. 2015 18:36)

Pouze v krátkosti připomínám, že pro výpočet zadaného integrálu je patrně nejjednodušší cestou volba substituce

$\sqrt{1-x^2}=t\quad\Rightarrow\quad x\,\mathrm{d}x=-t\,\mathrm{d}t.$

Daný integrál tak můžeme nakonec psát ve tvaru

$\int x\cdot\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x =-\int t^2\,\mathrm{d}t,$

jehož výpočet je triviální.

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2015 13:16 — Editoval malarad (15. 12. 2015 14:42)

integrál

#2 15. 12. 2015 13:32 — Editoval OndrasV (15. 12. 2015 13:33)

Re: integrál

#3 15. 12. 2015 15:04

Re: integrál

#4 15. 12. 2015 17:10

Re: integrál

#5 15. 12. 2015 18:06 — Editoval malarad (15. 12. 2015 18:08)

Re: integrál

#6 15. 12. 2015 18:32

Re: integrál

#7 15. 12. 2015 18:35 — Editoval Marian (15. 12. 2015 18:36)

Re: integrál

Zápatí