Matematické Fórum

FliegenderZirkus

Ahoj,
binomickou větu pro přirozené exponenty lze za určitých podmínek zobecnit pro ty reálné popř. i komplexní (viz např. Wikipedie). Když se pro jednoduchost omezím na obor reálných čísel tak lze tuto zobecněnou binomickou větu aplikovat na funkce ve tvaru
$f(x)=(1+x)^n, \quad x,n\in \mathbb{R}$ . Dosud jsem měl za to, že se vlastně jedná jen o speciální případ Taylorova rozvoje pro určitou skupinu funkcí. Jenže teď jsem se setkal s tím, že v některých zdrojích se stejný vzoreček pro binomický rozvoj aplikuje i na funkce ve tvaru $f(x)=(1+g(x))^n$ . Jeden příklad je na anglické Wikipedii kde $g(x)=x^2$ . To je ale ještě pořád polynom, takže i výsledkem je polynom ke kterému se dá dostat i přímou aplikací Taylorova rozvoje. Některé publikace ale používají binomický vzoreček i pro libovolné funkce g(x), viz např. následující úryvek z knížky Engineering Science od autorů Mike Tooley, Lloyd Dingl
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/81313_binom.PNG

Rád bych se zeptal jakou oporu má takovýto přístup v matematice. Stačí skutečně jen splnit $|g(x)|<1$ a vzorce z Wikipedie lze aplikovat? Předem díky za reakce.

EDIT: Nenechte se zmást dvojím významem symbolu n v tom úryvku. Jedno n je exponent závorky a druhé konstanta týkající se té konkrétní technické aplikace.

FliegenderZirkus

S odstupem mi to už teď jako žádná velká záhada nepřijde, stačí se asi dívat na jednotlivé body kde se věta aplikuje samostatně a pokud všechny splňují podmínky konvergence tak je můžem zapsat hromadně jako g(x). Takže tahle část je asi ok.

Trápí mě ale ještě jedna věc kterou se pokusím ilustrovat příkladem zase z té výše citované knížky. Máme funkci
$s(\varphi) = r \cos \varphi+ \sqrt{l^2-\left(r\sin \varphi\right)^2}$
která popisuje pohyb pístu klikového mechanismu jako v tomto tématu. Proměnnou je $\varphi$ , ostatní parametry jsou konstanty. Chceme ji zjednodušit (zbavit se odmocniny), a tak aplikujeme ukončený binomický rozvoj na druhý člen což vede na

Až sem všemu rozumím. V tuto chvíli však autoři bez jakéhokoli zdůvodňování konstatují, že pro výpočet derivace $\frac{ds}{d\varphi}$ lze použít tento zjednodušený výraz a nikoli původní funkci. To samé pak pro výpočet zrychlení (další derivace). Tento přístup se zdá být všeobecně akceptovaný, já mu ale nerozumím. Máme nějaké věty které takovéto zdejnodušení zdůvodňují? Nepřipadá mi zřejmé, že z přibližné rovnosti funkcí plyne i přibližná rovnost jejich derivací.

jelena · 03. 01. 2016 22:26

Zdravím,

↑ FliegenderZirkus: není to zjednodušení použitelné u takových zápisů funkcí (rozvojů), kde část členů jde zanedbat, jelikož jsou podstatně menší (to se dělá běžně v technickém výpočtu) a navíc při derivování tyto členy se opět derivuji do "řady", kde jde část zanedbat? Děkuji za upřesnění.

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2016 01:41 — Editoval FliegenderZirkus (03. 01. 2016 01:43)

Zobecněná binomická věta

#2 03. 01. 2016 12:13 — Editoval FliegenderZirkus (03. 01. 2016 12:16)

Re: Zobecněná binomická věta

#3 03. 01. 2016 22:26

Re: Zobecněná binomická věta

Zápatí