Matematické Fórum

Richie · 21. 05. 2009 13:59

Ahoj, potreboval bych pomoct s timto prikladem:
Uvedte priklad funkce dvou promennych, ktera neni diferencovatelna v bode [1;-2], ale jeji parcialni derivace v bode [1;-2] existuji.

Napadla me funkce f(x,y) = \sqrt{abs((x-1)(y+2))}

to abs ma bejt absolutni hodnota.

ale nevim jestli to je spravne a nevim jak to dokazat, takze jestli nekoho napadne nejaka funkce a hlavne postup jak se tento typ prikladu resi, budu moc rad.

Rumburak

A. Jednoduchý příklad takové funkce:

1. Definujme funkci g dvou reálných proměnných tak, že
g(x,y) = 1 pokud x = 0 nebo y = 0,
g(x,y) = 0 v ostatních případech (tj. pokud x <> 0 a zároveň y <> 0 ).
Parc. derivce této fce v bodě [0, 0] existují (a jsou obě rovny 0, jak zjistíme jejich výpočtem dle definice parc. derivací),
tot. dif. této fce v tomto bodě však neexistuje, neb fce g v něm není spojitá (není v něm např. relativně spojitá vzhledem k přímce o r-ci y = x.

2. Fce f(x,y) = g(x - 1, y + 2) má obdobné vlastnosti v bodě [1,-2], jak bylo požadováno.

B. Funkce, kterou uvádíš, je také správným příkladem, dokonce o chlup lepším, protože je navíc spojitá.
Převeďme situaci do bodu [0, 0] a uvažujme funkci $G(x,y) = \sqrt {|xy|}$ . Opět jsou obě její parciální derivace v bodě [0, 0]
(počítáno z definice) zřejmě rovny 0.
Nyní spočítejme derivaci v tomto bodě ve směru $\vec{u}= (1,1)$ . Měla by být rovna limitě
$\lim_{\limits_{h \to 0}} \frac {G(h,h) - G(0,0)}{h} = \lim_{\limits_{h \to 0}} \frac {|h| - 0}{h} = \lim_{\limits_{h \to 0}} \frac {|h|}{h}$ ,
která však neexistuje, proto neexistuje ani totální diferenciál fce G v daném bodě.

Richie · 21. 05. 2009 14:54

Dekuji za odpoved, chapu to, jeste by me zajimal pripad, kdyz by ta hledana funkce musela byt spojita v bode [x,y]? Jak by se pote ukazovalo ze neni diferencovatelna v bode [x,y]?

Rumburak

↑ Richie:
Doplnil jsem předchozí svůj příspěvek o rozbor Tvého příkladu. (Měl jsem to rozepsané už více než před hodinou,
ale musel jsem psaní přerušit.)

Nyní ještě odpovím na další Tvoji otázku, která se mezitím objevila.
Reálná funkce G dvou poměnných MÁ v bodě $Z = [x_0, \,y_0]$ totální diferenciál tehdy a jen tehdy,
když existují reálná čísla A, B taková, že
(1) $\lim_{\limits_{[\alpha, \beta] \to [0,0]}}\,\,\,\,\frac {|G(x_0+\alpha,y_0+\beta) - G(x_0,y_0) - A\alpha - B\beta|}{\max \,\{|\alpha|, \,|\beta|\}} \,= \,0$ .

Je-li tato podmínka splněna, pak též nutně
1) $A = G_x(x_0, \,y_0) , \, B = G_y(x_0, \,y_0)$ (výrazy v pravo jsou po řadě parciální derivace 1. řádu fce G dle x a dle y).
2) Fce G je v bodě Z spojitá a v každém směru určeném nenulovým vektorem (a,b) existuje její směrová derivace v bodě Z rovna číslu A*a + B*b .

Pokud výše uvedená podmínka není splněna, například proto, že parc. derivace v bodě $[x_0, \,y_0]$ neexistují,
nebo když sice existují, ale limita v (1) neexistuje nebo není rovna 0, nebo když není splněn některý z důsledků v 2,
potom fce G NEMÁ v příslušném bode tot. diferenciál.

Richie · 21. 05. 2009 16:01

↑ Rumburak:
Diky moc, pomoh si mi ;-)

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2009 13:59

Funkce jejiz parcialni derivace existuji, ale...

#2 21. 05. 2009 14:41 — Editoval Rumburak (21. 05. 2009 16:52)

Re: Funkce jejiz parcialni derivace existuji, ale...

#3 21. 05. 2009 14:54

Re: Funkce jejiz parcialni derivace existuji, ale...

#4 21. 05. 2009 15:59 — Editoval Rumburak (21. 05. 2009 17:12)

Re: Funkce jejiz parcialni derivace existuji, ale...

#5 21. 05. 2009 16:01

Re: Funkce jejiz parcialni derivace existuji, ale...

Zápatí