Matematické Fórum

liamlim · 10. 01. 2016 22:03

Ahoj. Připravuji se na test z analýzy a nevím si rady s jedním příkladem, který byl v minulých letech. Mohl by mi někdo prosím poradit, jak by se mělo postupovat při zjišťování konvergence řady:

$\sum_{n=1}^{\infty}n^\alpha\cdot\sin\left(\frac{1}{1+n^2}\right)$

pro $\alpha = 1$ . (A obecně pro různá $\alpha$ )

Asi bych nějak byl schopen dojít k tomu, že pro $\alpha < 1$ řada konverguje, i když můj postup je zmatený a byl bych rád za nějaké nasměrování i zde. Ono ani náhodou nežádám o celý vyřešený příklad. Jen o nějaké nasměrování od někoho, kdo okamžitě vidí, jak na to...

Moc děkuji.

Bati · 10. 01. 2016 22:06

Ahoj.
Jdi na to přes limitní srovnávací kritérium.
$\sin\frac1{1+n^2}\approx\frac1{n^2}$ , $n\to\infty$ .

liamlim

↑ Bati:

edit: našel jsem podivnosti v tom co jsem napsal, upravuji...
edit2: asi už jsem provedl všechny úpravy

Takže bych zkusil něco následovného:

$\sum_{n=1}^{\infty}n^\alpha\cdot\sin\left(\frac{1}{1+n^2}\right) \ge \frac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}n^{\alpha-2}\cdot\frac{\sin\left(\frac{1}{2n^2}\right)}{\frac{1}{2n^2}}$

Což se pro $\alpha = 1$ chová "skoro stejně" jako divergentní $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ . Zatím správně? Jak bych měl toto formálně dokázat?

edit3: napadá mě, že bych tu řadu srovnal s harmonickou řadou.. to by mohlo pomoci, ne?

van Thomas · 10. 01. 2016 22:36

Ahoj. Buď použiješ zmíněné limitní srovnávací kritérium, nebo, pokud se mu chceš vyhnout, použiješ definici limity (což se ostatně obdobně dělá i v důkazu zmíněného kritéria) $\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac1{2n^2}}{\frac1{2n^2}}=1$ , podle které ( $\varepsilon:=\frac12$ ) pro skoro všechna $n\in\mathbb N$ platí $\frac{\sin\frac1{2n^2}}{\frac1{2n^2}}\geq\frac12$ .

Bati · 10. 01. 2016 23:06

Z limitního srovnávacího kritéria ihned plyne, že zadaná řada konverguje právě tehdy, když řada $\sum n^{\alpha-2}$ konverguje. Není třeba nic odhadovat.

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2016 22:03

konvergence řady

#2 10. 01. 2016 22:06

Re: konvergence řady

#3 10. 01. 2016 22:26 — Editoval liamlim (10. 01. 2016 22:33)

Re: konvergence řady

#4 10. 01. 2016 22:36

Re: konvergence řady

#5 10. 01. 2016 23:06

Re: konvergence řady

Zápatí