Matematické Fórum

slender · 11. 01. 2016 18:19

Zdravím,
řeším následující úlohu, nemohl by mi tu někdo prosím poradit, jak to řešit?

Spočítejte limitu: $\lim_{n \to \infty} \left ( \sqrt[3]{2n+2} - \sqrt[3]{2n+1} \right ) \sqrt[3]{(n+1)(3n+2)}$

Sherlock · 11. 01. 2016 19:27

Zkoušel jsi to rozšířit podle vzorce $a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}})$ ?

slender · 11. 01. 2016 19:54

↑ Sherlock: Promiň, asi jsem trochu natvrdlej a nevidím to v tom... Jak přesně? Co by bylo a a co b?

Sergejevicz · 11. 01. 2016 20:08

a a b budou ty výrazy pod třetími odmocninami v první závorce. Ten vzorec se použije tak, že se upraví na tvar "rozdíl třetích odmocnin = rozdíl / součet těch ostatních členů, které jsou v původním tvaru v pravé závorce na pravé straně".

Sherlock · 11. 01. 2016 20:41

Ano, rozšíříš to prostě výrazem $\frac{(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}})}{(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}})}$ a aplikuješ ten vzorec

v našem případě $a=2n+2$ , $b=2n+1$

slender · 11. 01. 2016 20:59

Díky. Teď jsem se dostal do následující fáze:

$\frac{\sqrt[3]{(3n^2+5n+2)}}{ \sqrt[3]{(2n+2)^2}+\sqrt[3]{(4n^2+6n+2)}+\sqrt[3]{(2n+1)^2}}$

A nevím, jak dál. Mělo by to vyjít $\frac{\sqrt[3]{6}}{6}$ čili $\frac{1}{6^{\frac{2}{3}}}$ ...

Xellos · 11. 01. 2016 21:01

↑ slender:

Vydelis citatel aj menovatel $n^{2/3}$ a vyslednu limitu spocitas uz lahko (dosadenim).

lucash · 11. 01. 2016 21:14

↑ slender:

Já v tomdle případě už rovnou vytýkám nejvyšší mocninu..

lucash · 11. 01. 2016 21:15

↑ Xellos:
Jsem pomalej.. :)

slender · 11. 01. 2016 21:21

Já se omlouvám, ale dneska jsem asi fakt extrémně zpomalenej... Ale nějak nedokážu zpod odmocniny vytknout nejvyšší mocninu, a nevidím, jak by šlo hezky z čitatele nebo jmenovatele vytknout $n^{2/3}$ ...

Sergejevicz · 11. 01. 2016 21:35

Já bych rád upozornil, že v tkovémhle případě, kdy mám v čitateli i jmenovateli součty mocnin a limita je pro n (nebo v případě funkcí x) jdoucí do nekonečna, se z čitatele vytýká nejvyšší mocnina čitatele a z jmenovatele nejvyšší mocnina jmenovatele.

Musíš vytknout nejdřív z výrazu pod odmocninou, tj. výraz pod odmocninou se ti rozpadne na součin vytknutého krát něco pěkného, co půjde ke konstantě, a pak rozdělíš odmocninu na součin odmocnin a tím se to vytknutíé dostane ven. Akorát je potřeba najít tu největší mocninu, která se v čitateli resp. jmenovateli vyskytuje. Ona je to tentokrát opravdu v obou případech dvoutřetinová mocnina - jsou tam všude třetí odmocniny a pod nimi kvadratické mnohočleny.

Sergejevicz · 11. 01. 2016 21:44

Proč bych psal rychlý příklad, když to můžu složitě popisovat odstavcem, že? :-)
$\sqrt[m]{ca^n + d} = \sqrt[m]{a^n$c + \frac{d}{a^n}$} = \sqrt[m]{a^n}\sqrt[m]{c + \frac{d}{a^n}}$

slender · 11. 01. 2016 22:32

↑ Sergejevicz: Díky moc. Najednou to působí poměrně jednoduše. :D

lucash · 11. 01. 2016 22:46

↑ slender:
Ono to jsou všechno jednoduché úpravy ani né na úrovni státní maturity :) jen se zajímavější substitucí..
Ale je to o tom vědět kdy co udělat.., kdy můžeš dosadit, kdy vytknout, kdy přičíst správnou nulu, či vynásobit správnou jedničkou...

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2016 18:19

Limita fce s odmocninami

#2 11. 01. 2016 19:27

Re: Limita fce s odmocninami

#3 11. 01. 2016 19:54

Re: Limita fce s odmocninami

#4 11. 01. 2016 20:08

Re: Limita fce s odmocninami

#5 11. 01. 2016 20:41

Re: Limita fce s odmocninami

#6 11. 01. 2016 20:59

Re: Limita fce s odmocninami

#7 11. 01. 2016 21:01

Re: Limita fce s odmocninami

#8 11. 01. 2016 21:14

Re: Limita fce s odmocninami

#9 11. 01. 2016 21:15

Re: Limita fce s odmocninami

#10 11. 01. 2016 21:21

Re: Limita fce s odmocninami

#11 11. 01. 2016 21:35

Re: Limita fce s odmocninami

#12 11. 01. 2016 21:44

Re: Limita fce s odmocninami

#13 11. 01. 2016 22:32

Re: Limita fce s odmocninami

#14 11. 01. 2016 22:46

Re: Limita fce s odmocninami

Zápatí