Matematické Fórum

pampeliska020

Ahoj, nevím si rady s příkladem. Proto bych vás chtěla poprosit o pomoc.
První část asi vím, pokud jsem dobře počítala vyšlo mi w= (0,2,0,0)

Bohužel u druhé části jsem se zasekla. Vím že normálně by se to počítalo přes smíšený součin, ale jelikož jsou tam 4 souřadnice tak nevím jak dál.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/35614_Capture.JPG

Děkuji

Rumburak

↑ pampeliska020:

Ahoj.

Nejspíš na to bude nějaký vzorec, ale když ho neznáme, půjde to i elementárně.
Nejprve určíme vrcholy rovnoběžnostěnu s tím, že jedním z nich zvolíme třeba $P=[0, 0, 0, 0]$ .
Dalšími vrcholy pak budou body $P + \vec {v}_i, P + \vec {v}_i + \vec {v}_j (i < j), P + \vec {v}_1 + \vec {v}_2 + \vec {v}_3$ .
Jde tedy o to vypočítat objem rovnoběžnostěnu, jehož vrcholy jsou známy.

Lze postupovat tak, že pomocí ortogonálních projekcí určíme vzdálenosti protilehlých (tj. vzájemně rovnoběžných)
stěn, tím dostaneme tři nezáporná čísla, jejichž součinu bude roven hledaný objem.

EDIT. Toto je omyl (omlouvám se a červenám). Později kdyžtak napíši něco lepšího.

Xellos · 12. 01. 2016 18:35

↑ Rumburak:

Vzorec je $|\vec{v_1}\cdot(\vec{v_2}\times \vec{v_3})|$ , nie? Vyska z jedneho vektoru na rovnobeznik tvoreny zvysnymi dvoma vektormi.

pampeliska020 · 12. 01. 2016 18:37

↑ Xellos:
Tenhle vzorec máme v šešitu, ale právěže nevím jak ho v týhle situaci použít, protože netuším, jak vypočítat vektorový součin se 4 souřadnicema :(

Rumburak

Naváži na příspěvek ↑ Rumburak:

Položme

$A = P + \vec {v}_1 , \\ B = P + \vec {v}_2 , \\ C = P + \vec {v}_3 , \\V = P + \vec {v}_1 + \vec {v}_2 + \vec {v}_3$ .

Uvažovaný rovnoběžnostěn $\Omega$ můžeme vyjádřit jako "skoro disjunktní"*) sjednocení tří čtyřbokých
jehlanů s hlavním vrcholem $V$ a podstavami $Z_{AB}, Z_{BC}, Z_{CA}$ , kde $Z_{XY}$ je obecně ta stěna
rovnoběžnostěnu $\Omega$ , jejíž částí je trojúhelník $\Delta PXY$ .

Např. obsah stěny $Z_{AB}$ je roven součinu $|PA|\cdot |PB|\cdot \sin \varphi_{AB}$ , kde $\varphi_{AB}$ je dutý úhel,
který spolu svírají hrany $PA, PB$ resp. vektory $\vec {v}_1, \vec {v}_2$ , hodnotu $|\cos \varphi_{AB}|$ snadno určíme
pomocí skalárního součinu těchto vektorů.

Výška odpovídajcího jehlanu bude mít velikost $|VM|$ , kde $M$ je kolmý průmět bodu $V$ na
rovinu $PAB$ .

Jak dále, je jistě zřejmé.

*) Můžeme říkat, že podmnožiny A, B n-rozměrného eukleidovskéh prostoru jsou v něm skoro disjunktní,
právě když n-rozměrná Lebesgueova míra jejich průniku je 0.

Eratosthenes

↑ pampeliska020:

nemýlím-li se, je míra n-1 rozměrného rovnoběžnostěnu v n-rozměrném prostoru rovna odmocnině z tzv. Grammova determinantu, tj. determinantu sestaveného ze všech možných skalárních součinů vektorů v_1; v_2;...;v_{n-1}

PS: v našem případě tedy

$m = \sqrt { \begin{vmatrix} (\vec v_1;\vec v_1) &(\vec v_1;\vec v_2) & (\vec v_1;\vec v_3)\\ (\vec v_2;\vec v_1) &(\vec v_2;\vec v_2) & (\vec v_2;\vec v_3)\\ (\vec v_3;\vec v_1) &(\vec v_3;\vec v_2) & (\vec v_3;\vec v_3)\\ \end{vmatrix} }$

A ještě jeden dovětek (přehlédl jsem otázku na ten vektorový součin). Tak jako v trojrozměrném případě, kde je

$\vec v_1\times\vec v_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ v_{11} & v_{12} & v_{13}\\ v_{21} & v_{22} & v_{23}\\ \end{vmatrix}$

kde $\{ \vec i ; \vec j ; \vec k\}$ je příslušná ortonormální báze $\mathbb R^3$ , stejně by v $\mathbb R^4$ s bází $\{ \vec i ; \vec j ; \vec k ;\vec l \}$ mělo být

$\vec v_1\times\vec v_2\times \vec v_3 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k & \vec l\\ v_{11} & v_{12} & v_{13} & v_{14} \\ v_{21} & v_{22} & v_{23} & v_{24}\\ v_{31} & v_{32} & v_{33} & v_{34}\\ \end{vmatrix}$

a stejně jako jako v $\mathbb R^3$ je $\| \vec v_1\times\vec v_2\|$ roven obsahu rovnoběžníka ve třech rozměrech, mělo by být $\| \vec v_1\times\vec v_2\times \vec v_3\|$ rovno objemu rovnoběžnostěnu ve čtyřech rozměrech, tedy

$m = \sqrt { \begin{vmatrix} (\vec v_1;\vec v_1) &(\vec v_1;\vec v_2) & (\vec v_1;\vec v_3)\\ (\vec v_2;\vec v_1) &(\vec v_2;\vec v_2) & (\vec v_2;\vec v_3)\\ (\vec v_3;\vec v_1) &(\vec v_3;\vec v_2) & (\vec v_3;\vec v_3)\\ \end{vmatrix} } = \| \vec v_1\times\vec v_2\times \vec v_3\|$

A konečně poslední poznámka: někdo tady na jiném místě determinanty typu

$\vec v_1\times\vec v_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ v_{11} & v_{12} & v_{13}\\ v_{21} & v_{22} & v_{23}\\ \end{vmatrix}$

zavrhoval jako matematicky nekorektní, protože determinant údajně musí obsahovat prvky "stejného typu". Znovu opakuji, že všechno je jen otázka definice. Je-li korektní definice, je korektní i definovaný objekt, ať se to někomu líbí, anebo ne. Ostatně - předstvte si, jak by předchozí zápisy bez těch determinantů asi vypadaly...