Matematické Fórum

byk7 · 11. 01. 2016 21:56

Zdravým,

nějak si nedokážu představit množinu $S$ splňující $S\in S$ . Může dát někdo nějaký příklad?

Freedy · 11. 01. 2016 21:59

Co třeba množina, která obsahuje libovolnou množinu?

Sergejevicz · 11. 01. 2016 22:03

Pokud vím, tak v Zermelově-Frenkelově teorii množin, která je standardně používána, je taková množina zakázána.
https://cs.wikipedia.org/wiki/Russell%C5%AFv_paradox

byk7 · 11. 01. 2016 22:04 — Editoval byk7 (11. 01. 2016 22:08)

↑ Freedy:

A není náhodou taková "množina" zakázaná? Ono se dá totiž ukázat, že "množina všech množin" neexistuje.

↑ Sergejevicz:

Jasně. A co v jiných, "rozumných" teoriích?

Freedy · 11. 01. 2016 22:14

↑ byk7:
tak jinak,
předpokládej, že existuje teorie množin, ve které existuje prvek S, tak, že platí, že $S\in S$ . Pak tento prvek bude splňovat to, na co se ptáš.
(Vždy je lepší nejprve uvést okolnosti)

Bati · 12. 01. 2016 01:07 — Editoval Bati (12. 01. 2016 01:10)

Ahoj ↑ byk7:.
Pokud ZFC považuješ za rozumnou teorii množin, tak axiom regularity říká, že každá množina obsahuje prvek, který je s tou množinou disjunktní. Teď vezmu libovolnou množinu $X$ a k ní množinu $\{X\}$ , která obsahuje jen $X$ , tudíž podle axiomu musí být $X$ a $\{X\}$ disjunktní. Zřejmě $X\in\{X\}$ a z disjunktnosti nemůže platit $X\in X$ .

Edit: Zpětně si uvědomuju, že to měl na mysli asi i Sergejevicz... Nevěděl jsem na koho reagoval.

byk7 · 12. 01. 2016 02:22

↑ Bati:

Jo, to je mi už jasné, ale i tak díky. Nicméně, tady jsem dočetl (str. 5), že axiom regularity má zabránit existenci divných množin. Když bychom tento axiom vypustili, jaké zajímavé důsledky by to mělo?

Wotton · 12. 01. 2016 12:43

↑ byk7:
Tak nejzajímavějším důsledkem by byl určitě spor (přesněji paradox; například: $\exists x\exists y(x\in y \wedge \neg(x\in y))$ .

Pokud bys ale axiom regularity nahradil něčím jiným, tak pak se tím zabývá Metamatematika teorií množin

byk7 · 12. 01. 2016 13:48

↑ Wotton:

To je ale zklamání. :) Ta kniha vypadá zajímavě, jen se zeptám, jaké jsou předpokládané znalosti čtenáře?

Wotton · 12. 01. 2016 14:16 — Editoval Wotton (12. 01. 2016 14:21)

↑ byk7:
Velké. Já zkoušku kde se dělalo tohle dělal na čtvrtý pokus. Standardně ji měli (pokud se nepletu), dokud byl Sochor ještě naživu, informatici na matfyzu jako volitelnou ve čtvrtém ročníku.
My jsem to měli povinný ve druháku, a podle toho nám to šlo:-)

Ale abych jen nestrašil:
Slušná orientace v teorii množin ZF, GB (,KM)
schopnost práce s formálními teoriemi (důkazy v nich, důkazy o nich, co je/není dokazatelné a co je k tomu potřeba, rozšíření teorie, ...)

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2016 21:56

Množina sama sobě prvkem

#2 11. 01. 2016 21:59

Re: Množina sama sobě prvkem

#3 11. 01. 2016 22:03

Re: Množina sama sobě prvkem

#4 11. 01. 2016 22:04 — Editoval byk7 (11. 01. 2016 22:08)

Re: Množina sama sobě prvkem

#5 11. 01. 2016 22:14

Re: Množina sama sobě prvkem

#6 12. 01. 2016 01:07 — Editoval Bati (12. 01. 2016 01:10)

Re: Množina sama sobě prvkem

#7 12. 01. 2016 02:22

Re: Množina sama sobě prvkem

#8 12. 01. 2016 12:43

Re: Množina sama sobě prvkem

#9 12. 01. 2016 13:48

Re: Množina sama sobě prvkem

#10 12. 01. 2016 14:16 — Editoval Wotton (12. 01. 2016 14:21)

Re: Množina sama sobě prvkem

Zápatí