Matematické Fórum

biggest-matematik · 14. 01. 2016 17:42

cau
otázka č1.: 10! můžu napsat jako 3*10^6, (jde mi jen o tu trojku) protože 10!=3628800 ? (začíná trojkou?)

otázka č2.:
jak mám spočítat kolik je 1000^500? (respektive stačí jen tich pocet číslic za tou první hodnotou) v sešitě jsme to počítali jako (10^3)^500 = 1500; ale nevím jak to počítat algoritmicky pro každý číslo, nebo jestli to jde vzdycky tak vypočítat?

thx

misaH · 14. 01. 2016 17:53 — Editoval misaH (14. 01. 2016 17:55)

↑ biggest-matematik:

$(10^3)^{500}=10^{1500}$ a nie 1500.

Ak je hodnota faktoriálu 3 milióny a dačo, tak sa jeho ZAOKRÚHLENÁ hodnota dá zapísať ako $3\cdot 10^6$ , ale táto tvoja je skôr $4\cdot 10^6$ .

biggest-matematik · 14. 01. 2016 17:59

já to myslel jako že to má 1500 míst

Freedy · 14. 01. 2016 18:25

↑ biggest-matematik:
Ahoj,

můžeš provádět přinejmenším horní odhad (popřípadě dolní odhad)
Například když si vezmu číslo 1000!.
Tak od 1 do 10 mi v nejhorším případě přidá dané číslo 1 nulu. Čili 10^(10) --- 10 nul
Od 11 do 100 mi v nejhorším případě přidá dané číslo 2 nuly. Čili 100^(90) --- 180 nul
Od 101 do 1000 mi v nejhorším případě přidá dané číslo 3 nuly. Čili 1000^(900) -- 2700 nul
Čili pro číslo 1000! určitě platí: $1000!<10^{2700+180+10}=10^{2890}$

Pavel · 14. 01. 2016 19:29 — Editoval Pavel (14. 01. 2016 19:57)

↑ Freedy:

Jen na okraj, je-li $m\in\mathbb N$ , tak počet jeho cifer v desítkové soustavě lze určit jako $\lfloor\log m\rfloor +1$ , kde logaritmus je brán o základu 10. Pak platí $m<10^{\lfloor\log m\rfloor +1}$ .

Nechť $m=n!$ . Odhadněme příslušný logaritmus:

$\log(n!)=\sum_{k=1}^n\log k<\int_1^{n+1}\log x\,\mathrm dx=(n+1)\log(n+1)-\frac{n}{\ln 10}\,.$

Odtud plyne

$n!<10^{\lfloor (n+1)\log(n+1)-\frac{n}{\ln 10}\rfloor +1}$

takže

$1000!<10^{2570}.$