Matematické Fórum

KamcaS · 17. 01. 2016 11:52

Ahoj, potřebuji pomoc s důkazem tohoto příkladu:

Nechť x je reálné číslo takové, že x + 1/x je celé. Dokažte, že potom je pro každé ${N}$ n číslo $x^{n} + (1/x^{n})$ celé.

Osobně bych to řešila matematickou indukcí, pro n = 1 je to jasné, ale pro n + 1 už nevím co s tím.

Předem děkuji za rady

byk7 · 17. 01. 2016 22:47

Jen tak pro inspiraci
$x^2+\frac{1}{x^2}&=$x+\frac{1}{x}$^2-2 \\ x^3+\frac{1}{x^3}&=$x+\frac{1}{x}$^3-3$x+\frac{1}{x}$$

Ukážu, že výraz $x^n+\frac{1}{x^n}$ jde zapsat ve tvaru $\sum_{k=0}^n a_k$x+\frac{1}{x}$^k$ a $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\mathbb Z$ pro každé kladné celé $n$ . Pro $n=1$ je tvrzení zřejmé, pro $n\in\{2,3\}$ máš příklady výše.

Předpokládejme, že pro vhodné celé koeficienty $a_k,b_k$ platí $x^n+\frac{1}{x^n}=\sum_{k=0}^n a_k$x+\frac{1}{x}$^k$ a $x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}=\sum_{k=0}^{n-1} b_k$x+\frac{1}{x}$^k$ . Vynásobme první rovnost výrazem $x+\frac{1}{x}$ , tj. $$x+\frac{1}{x}$$x^n+\frac{1}{x^n}$=\sum_{k=0}^n a_k$x+\frac{1}{x}$^{k+1}$ , po úpravě
$x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}&=-$x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}$+\sum_{k=0}^n a_k$x+\frac{1}{x}$^{k+1}= \\ &=\sum_{k=0}^n a_k$x+\frac{1}{x}$^{k+1}-\sum_{k=0}^{n-1} b_k$x+\frac{1}{x}$^k= \\ &= -b_0+a_n$x+\frac{1}{x}$^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}$a_k-b_{k+1}$$x+\frac{1}{x}$^{k+1}= \\ &=\sum_{k=0}^{n+1}A_{k}$x+\frac{1}{x}$^{k}$ , kde klademe $A_0=-b_0,A_k=a_{k-1}-b_k,1\le k\le n,A_{n+1}=a_n$ , čímž je naše tvrzení dokázáno.

Teď otázka pro tebe, jak z toho tvrzení plyne, že $x^n+\frac{1}{x^n}$ je celé číslo? :)

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2016 11:52

Důkaz

#2 17. 01. 2016 22:47

Re: Důkaz

Zápatí