Matematické Fórum

IrisCZ · 19. 01. 2016 17:12

Ahoj, dneska jsem při počítání limit narazil na příklad, u kterého mi není jasný jeho postup výpočtu a neporadil mi s ním ani Wolfram Alpha. Jedná se konkrétně o tuto limitu:
$\lim_{x\to\infty }arccotg\frac{\ln x}{x - 1}$
Výsledek má být roven pí/2 a jediný zdroj, kde jsem našel tento příklad vypočítaný, se k němu dostane pomocí L'Hospitalova pravdila (je mi jasné, že je potřeba ho použít). Naneštěstí mi už není jasné, proč se má derivovat pouze zlomek a ne celý výraz s arccotg. Postup výpočtu je uveden tento:
$\lim_{x\to\infty }arccotg\frac{\ln x}{x - 1} = \lim_{x\to\infty } arccotg(y) = \frac{\pi }{2}$
$y=\lim_{x\to\infty }\frac{\ln x}{x - 1} = \lim_{x\to\infty }\frac{\frac{1}{x}}{2x} = 0$
Chtěl bych se tedy zeptat, proč se při použití l'Hospitalova pravidla nemusí derivovat i ta část s arkuskotangens (což by byla noční můra). Předem díky.

Al1 · 19. 01. 2016 17:48 — Editoval Al1 (19. 01. 2016 19:13)

↑ IrisCZ:

Zdravím,

při svém výpočtu užíváš větu o limitě spojené funkce. Dej pozor na zápis

$\lim_{x\to\infty }\ arccotg\left(\frac{\ln x}{x - 1}\right) = \lim_{y \to 0 } arccotg(y) =\ldots$ . Navíc je nutné ověřit, že fce arccotg(y) je v bodě y=0 spojitá

L´Hospitalovo pravidlo můžeš užít za podmínky a) nebo b)

$a) \lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a}g(x) = 0\,\!$

$b) \lim_{x\to a}g(x) = \pm\infty \,\!$

Tedy musí být buď obě limity nulové, nebo spodní limita nevlastní. Tyto případy jsou nazývány "limita typu $\frac{0}{0}$ " resp. "limita tvaru $\frac{cokoliv}{\pm\infty}$ ".

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2016 17:12

Limita s arccotg a L'Hospitalovo pravidlo

#2 19. 01. 2016 17:48 — Editoval Al1 (19. 01. 2016 19:13)

Re: Limita s arccotg a L'Hospitalovo pravidlo

Zápatí