Matematické Fórum

Asinkan · 20. 01. 2016 14:19

Ahoj, vim,ze za pomoci per partesu mohu se dvema funkcema udelat nasledujici
$\int_\Omega \nabla (f) h \ d\Omega=\oint_{\partial \Omega}fh \ ds-\int_\Omega f \nabla h \ d\Omega$
Ale se trema uz to asi udelat nejde, nebo na soucin dvou funkci moho koukat jako na jednu funkci?

$\int_\Omega \nabla (fg) h \ d\Omega=\oint_{\partial \Omega}fgh \ ds-\int_\Omega fg \nabla h \ d\Omega$

Potrebuju se zbavit derivace u tech funkci $f$ a $g$ . Kdyz si to ale roznasobim a upravim, tak mi vychazi, ze to nejde. Opravdu to nejde, nebo se nasledujici vyraz da upravit tak, ze to vyjde?

$\int_\Omega \nabla (fg) h \ d\Omega=\int_\Omega \nabla (f) g h \ d\Omega+\int_\Omega f h \nabla (g) \ d\Omega=\oint_{\partial \Omega} fgh \ ds-\int_\Omega f \nabla (gh) d\Omega+\oint_{\partial \Omega} fgh \ ds-\int_\Omega g \nabla (fh) d\Omega$

Diky

Bati · 20. 01. 2016 14:35 — Editoval Bati (20. 01. 2016 14:36)

↑ Asinkan:
Ahoj,
ze všeho nejdřív si uvědom, co jsou vektory a co skaláry. A potom kde je normální násobení a kde skalární součin. Tak jak to máš to nedává moc smysl, např. h by měl být vektor, pak ale děláš gradient z h, což už je matice. Správně by tam měla být divergence.
Nejde prostě vzít jen tak per partes z jedné dimenze a derivace nahradit gradientama...je třeba u toho trochu přemýšlet.

Asinkan · 20. 01. 2016 15:14

↑ Bati:

Jo mas pravdu. A pokud $\mathbf{F}$ je vektor a $\phi$ a $v$ jsou funkce, pak nasledujici dava smysl?

$\int_\Omega \nabla (\phi \mathbf{F}) v \ d\Omega=\oint_{\partial \Omega}\phi\mathbf{F}v \ \vec{n}\ ds-\int_\Omega \phi \mathbf{F} \nabla h \ d\Omega$

to $\vec{n}$ je normalovy vektor na hranici $\Omega$ .

Bati · 20. 01. 2016 15:27 — Editoval Bati (20. 01. 2016 15:50)

↑ Asinkan:
Ne, to smysl nedává. Nalevo máš vektor krát skalár, což je ok, pokud ten integrál chápeš po složkách (což není moc standardní). Napravo ale máš vektor krát vektor, což se interpretuje jako skalární součin, když tam nenapíšeš žádný operátor, ale výsledkem je pak číslo.

Abych přidal něco konstruktivního, pro dvě funkce může správný zápis vypadat takto:
$\int_{\Omega}\nabla u\cdot \textbf{v}\,\mathrm{d}x=\int_{\partial \Omega}u(\textbf{v}\cdot \textbf{n})\,\mathrm{d}S-\int_{\Omega}u\;\text{div}\,\textbf{v}\,\mathrm{d}x$ ,
kde $\Omega$ má po částech pěknou hranici a funkce u, v jsou, řekněme třeba, spojitě diferencovatelné. Vektory značím tlustě, ostatní ne.
Nyní můžeš přidat třetí funkci tak, že místo $\textbf{v}$ napíšeš $\varphi\textbf{u}$ . Pak můžeš použít identitu, kterou jsem ti napsal a dále využít toho, že $\text{div}\,(\varphi \textbf{u})=\nabla\varphi\cdot\textbf{u}+\varphi\;\text{div}\,\textbf{u}$ . Pak můžeš identitu pro 2 funkce použít znova.

Asinkan · 20. 01. 2016 16:27

↑ Bati:

Ale tou divergenci jsem na levo taky udelal cislo, nebo ne?
$\nabla (\phi \mathbf{F} )v=\left( \frac{\partial}{\partial x}(\phi F_x)+\frac{\partial}{\partial y}(\phi F_y)+\frac{\partial}{\partial z}(\phi F_z)+\right)v$

A s tou vlastnosti ty divergence jsem to taky zkousel, ale pak jsem se prave dostal do neznama

$\int_\Omega (\phi \cdot \nabla \mathbf{F})\cdot v \ d\Omega+ \int_\Omega (\nabla\phi \cdot \mathbf{F})\cdot v \ d\Omega$

potrebuju se zbavit derivací toho $\mathbf{F}$ a $\phi$ na hranici u krivkovejch integralu. Tedy tou upravou jsem se , alespon tedy ja, niceho nezbavil:-(

Bati · 20. 01. 2016 16:43

↑ Asinkan:
Když napíšeš $\nabla \textbf{F}$ , tak to je pro mě matice (jakobián). Divergence z $\textbf{F}$ se obvykle značí $\text{div}\,\textbf{F}$ nebo $\nabla\cdot\textbf{F}$
Zároveň tečku používám jen pro skalární součin. Ten obyčejný neznačím. Objevilo se ti tam $\int_\Omega (\nabla\phi \cdot \mathbf{F})v \,\mathrm{d}\Omega$ , což můžeš přepsat jako
$\int_\Omega \nabla\phi \cdot (\mathbf{F}v)\,\mathrm{d}\Omega$ a použít zas "per partes".

Asinkan · 21. 01. 2016 11:56

↑ Bati:
Dobre a co je tedy spatne na tomhle?
$\int_\Omega \nabla (\phi \mathbf{F}) v \ d\Omega=\oint_{\partial \Omega}\phi\mathbf{F}v \ \vec{n}\ ds-\int_\Omega \phi \mathbf{F} \nabla v \ d\Omega$
psal jsi "Ne, to smysl nedává. Nalevo máš vektor krát skalár,...." ale ta nabla z toho udela cislo, ne?

Bati · 21. 01. 2016 14:40

↑ Asinkan:
Je to ok, jen mám problém s tvým značením. Napsal bych to aspoň takhle:
$\int_\Omega \nabla\cdot (\phi \mathbf{F}) v \ d\Omega=\oint_{\partial \Omega}(\phi\mathbf{F}v) \cdot \vec{n}\ ds-\int_\Omega \phi \mathbf{F}\cdot \nabla v \ d\Omega$ .

Asinkan · 21. 01. 2016 17:59

↑ Bati:
JJ, moje znaceni bylo chybne. Diky moc.

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2016 14:19

Perpartes na 3 funkce

#2 20. 01. 2016 14:35 — Editoval Bati (20. 01. 2016 14:36)

Re: Perpartes na 3 funkce

#3 20. 01. 2016 15:14

Re: Perpartes na 3 funkce

#4 20. 01. 2016 15:27 — Editoval Bati (20. 01. 2016 15:50)

Re: Perpartes na 3 funkce

#5 20. 01. 2016 15:53 Příspěvek uživatele Asinkan byl skryt uživatelem Asinkan.

#6 20. 01. 2016 16:27

Re: Perpartes na 3 funkce

#7 20. 01. 2016 16:43

Re: Perpartes na 3 funkce

#8 21. 01. 2016 11:56

Re: Perpartes na 3 funkce

#9 21. 01. 2016 14:40

Re: Perpartes na 3 funkce

#10 21. 01. 2016 17:59

Re: Perpartes na 3 funkce

Zápatí