Matematické Fórum

M4rty32

Zdravím,

už nějakou hodinu se peru s domácím úkolem na téma Integrály - objemy rotačních těles.

Ne a ne přijít na to, jak vypočítat objem rotačního tělesa, které je ohraničeno křivkami $y=1-x^{2}$ a $y=x^{2}$ ; rotace podle osy x.

Můj nápad byl takový, že jsem nejprve zjistil, jak dané těleso vypadá v soustavě. Je to takové očko. Obě tyto rovnice mají společný bod $[\sqrt{\frac{1}{2}};\frac{1}{2}]$ . Poté jsem vypočítal $\pi \int_{0}^{\sqrt{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2}*{x}^{2}) dx$ -> to jsem vynásobil 2 a od toho odečetl $\pi \int_{0}^{\sqrt{\frac{1}{2}}} ({x}^{4}) dx$ a tím mi měla vyjít 1/4 objemu celého tělesa. Dle výsledků bohužel nevyšla. V číslech se jedna o $(\frac{\pi }{12}) - (\frac{\pi }{80})$ . Netuším kde dělám chybu. Jestli se jedná o celou myšlenku blbě, nebo sem někde jen udělal numerickou chybu.

Děkuji každému, kdo se mi na to koukne a pokusí se poradit! :)

M.

Al1 · 20. 01. 2016 19:47

↑ M4rty32:

Zdravím,

obě paraboly mají společné body $\left[\pm\sqrt{\frac{1}{2}};\frac{1}{2}\right]$

(tedy ne rovnice mají společný bod, kdyžtak ještě soustava dvou rovnic má řešení --- tolik formální zápis)

Můžeš skutečně využík k rotaci jen oblast od 0 do $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , ale integrály máš zadané chybně, správně je

$V=2\pi \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left((1-x^{2})^{2}-(x^{2})^{2}\right)\ dx$

M4rty32 · 20. 01. 2016 19:55

↑ Al1:

Jo to se omlouvám, vyjádřil jsem se blbě :)

Tohle mě nenapadlo to tam napálit rovnou všechno pod jeden integrál. Byl jsem zvyklý, že jsme do teď ty integrály hodně rozdělovali. Ještě se chci zeptat, proč je před integrálem $2\pi$ a ne jenom $\pi$ .

Jinak opravdu moc děkuji :)

Al1 · 20. 01. 2016 20:00 — Editoval Al1 (20. 01. 2016 20:06)

↑ M4rty32:

Oblast, která rotuje, je vymezena intervalem $\left\langle-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right\rangle$ , jenže s využitím symetrie podle osy y jsme vzali k rotaci jen polovinu v intervalu $\left\langle0;\frac{\sqrt{2}}{2}\right\rangle$

M4rty32 · 20. 01. 2016 20:19

↑ Al1:

Ježiš no jo! Já sem hloupej :D Tohle mi taky mohlo dojít že...

Ještě jednou tedy děkuji moc za vyřešení mého problému. Vše již vychází, jak má :)

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2016 19:33 — Editoval M4rty32 (20. 01. 2016 19:34)

Integrály - Objem rotačního tělesa

#2 20. 01. 2016 19:47

Re: Integrály - Objem rotačního tělesa

#3 20. 01. 2016 19:55

Re: Integrály - Objem rotačního tělesa

#4 20. 01. 2016 20:00 — Editoval Al1 (20. 01. 2016 20:06)

Re: Integrály - Objem rotačního tělesa

#5 20. 01. 2016 20:19

Re: Integrály - Objem rotačního tělesa

Zápatí