Matematické Fórum

Makrofág · 21. 01. 2016 13:29

Zdravím vás! Neumím spočítat limitu: $\lim_{n\to\infty }n^{2}(\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1})$

Prosím pomozte mi ji spočítat, naveďte mě. Zkoušel jsem násobit všemi možnými chytrými jedničkami a asi jsem tu správnou jedničku nenašel, nebo se na to tady musí jinak. Taky jsem zkoušel rozdělit si $-2\sqrt{n}$ na $-\sqrt{n}-\sqrt{n}$ , kde jsem každou z těch odmocnin nacpal k jedné z těch druhých dalších odmocnin s tím, že jsem to pak násobil chytrými jedničkami. Stejně se mi to nepovedlo, vždy mi vyšla neurčitost krát nekonečno.

vanok · 21. 01. 2016 13:44 — Editoval vanok (21. 01. 2016 14:28)

Ahoj
Mozno toto $\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})-(\sqrt {n}-\sqrt{n-1})$ ?

Edit
Preklep opraveny. Dakujem ↑ Makrofág:.

Makrofág · 21. 01. 2016 13:53

↑ vanok:
Díky. Jen před tou poslední odmocninou má být mínus viď. Zkusím to spočíst.

Pavel · 21. 01. 2016 13:56 — Editoval Pavel (21. 01. 2016 14:05)

↑ vanok:

Obávám se, že to nepomůže. Obě limity by vyšly $+\infty$ .

↑ Makrofág:

Odhaduji, že celá limita bude nekonečno. Výraz v závorce se asymptoticky chová jako druhá derivace funkce $\sqrt{n}$ , tj. jako $n^{-\frac 32}$ .

K samotnému výpočtu:

Je potřeba rozšířit dvakrát. Doporučuji začít takto:

$\lim_{n\to\infty }n^{2}(\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}) =\lim_{n\to\infty }n^{2}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n})\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}+2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}+2\sqrt{n}}=\dots$

Makrofág · 21. 01. 2016 14:05

Pravdu má Pavel. Zase z toho vychází neurčitost. Tu limitu máme za úkol vypočítat bez znalosti derivací. Každopádně díky za postřeh. Kdybych něco vymyslel, hodím to sem. Kdybyste něco vymysleli vy, taky házejte :)

vanok · 21. 01. 2016 14:10 — Editoval vanok (21. 01. 2016 14:17)

Pozdravujem ↑ Pavel:,
Po upravach by to dalo,
$\frac 1{\sqrt {n+1}+\sqrt n}-\frac 1{\sqrt n+\sqrt {n-1}}$ vyraz ktory sa da upravit a nam da po podobnej uprave v podstate vysledok, ktory si napisal.

Makrofág · 21. 01. 2016 14:40

↑ vanok:
Říkáš, že to jde upravit? Z tohodle ses dostal až k výsledku jo?

Pavel · 21. 01. 2016 14:55

↑ Makrofág:

Můj postup nevyžaduje derivace. Stačí rozšířit tak, jak jsem ukázal, a později ještě jednou. Derivace jsem zmínil jen na okraj, pro lepší představu, jak bude limita vycházet.

vanok · 21. 01. 2016 15:17 — Editoval vanok (21. 01. 2016 16:09)

Pre kontrolu:
Mal by si dostat po uprave ↑ vanok:
$-\frac 2{(\sqrt {n+1}+\sqrt n).(\sqrt n+\sqrt {n-1}).(\sqrt {n-1}+\sqrt{n+1})}$
A z kazdej zatvorky vyjmes $\sqrt n$ ( v zatvorkach ostanu cleny ktorych limita je 1+1=2, dokopy to da 8).
To ti da konkluziu ze mas nevlastnu limitu $-\infty$
Cize ako vidis, Pavel a ja mame ten isty vysledok.

Makrofág · 21. 01. 2016 16:06

Tak dík moc vám oběma. Super!

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2016 13:29

Výpočet limity

#2 21. 01. 2016 13:44 — Editoval vanok (21. 01. 2016 14:28)

Re: Výpočet limity

#3 21. 01. 2016 13:53

Re: Výpočet limity

#4 21. 01. 2016 13:56 — Editoval Pavel (21. 01. 2016 14:05)

Re: Výpočet limity

#5 21. 01. 2016 14:05

Re: Výpočet limity

#6 21. 01. 2016 14:10 — Editoval vanok (21. 01. 2016 14:17)

Re: Výpočet limity

#7 21. 01. 2016 14:40

Re: Výpočet limity

#8 21. 01. 2016 14:55

Re: Výpočet limity

#9 21. 01. 2016 15:03 — Editoval Al1 (21. 01. 2016 15:06) Příspěvek uživatele Al1 byl skryt uživatelem Al1. Důvod: stejná rada

#10 21. 01. 2016 15:17 — Editoval vanok (21. 01. 2016 16:09)

Re: Výpočet limity

#11 21. 01. 2016 16:06

Re: Výpočet limity

Zápatí