Matematické Fórum

Contemplator · 27. 01. 2016 22:36

DObrý večer , môžte mi niekto pomôcť s týmito integrálmi, neviem ako substituovať príp. niečo iné, už sa na to pozerám dosť dlho a neviem...
$\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ $\int arctg\sqrt{x}$

Jenda358

Zdravím,

u prvního integrálu doporučuji přepsat integrand do tvaru $\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}$ .
Jak zintegrovat $\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}$ by mělo být jasné.

Druhý integrál lze najít metodou per partes (přičemž integrujeme jedničku a derivujeme $\mathrm{arctg} \sqrt{x}$ ).

Contemplator · 29. 01. 2016 11:52

↑ Jenda358: A ako si to prepísal/a do $\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}$ dokázal som sa dostať naspäť k $\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ ale opačne nie a neviem ako by ma to mohlo napadnúť - môžeš mi to vysvetliť?:)

jelena · 29. 01. 2016 18:22

Zdravím,

také bych poprosila kolegu ↑ Jenda358: o upřesnění, zda úprava plynula ze zkušeností s podobnými typy, děkuji.

$\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ můj postup by byl rozšíření výrazem $(\sin x-\cos x)$ a úprava na dvojnásobné argumenty pomocí goniometrických vzorců. Jak to vypadá? Děkuji.

Jj · 29. 01. 2016 19:28

↑ Contemplator:

Dobrý den.

Nevím, jak to upravoval kolega ↑ Jenda358:, já bych postupoval takto:

$\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{\sin x +\cos x - \cos x}{\sin x+\cos x}=1-\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}=$

$=1-\frac{\cos x-\sin x + \sin x}{\sin x+\cos x}=1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$

$\Rightarrow \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}$

Jenda358

↑ jelena:

Zdravím,

moje úprava skutečně plynula ze zkušeností s podobnými typy integrálů. Obecně lze každý integrál tvaru $\int\frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x+ d \cos x} \mathrm{d}x$ (pro přípustné hodnoty parametrů a, b, c, d) řešit tím způsobem, že vyjádříme čitatele integrandu jako lineární kombinaci jmenovatele a derivace jmenovatele. Je zřejmé, že pak už máme vyhráno.

Způsobů, jak takové vyjádření najít, je určitě více, nicméně vyřešení jisté soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých bude fungovat vždy.

Jenda358 · 29. 01. 2016 20:47

Ještě pro ilustraci předvedu, jak výše uvedeným způsobem najít např. tento integrál:
$\int\frac{ \sin x + 3 \cos x}{2 \sin x -5 \cos x} \mathrm{d}x$ .

Derivace jmenovatele je $2 \cos x +5 \sin x$ .
Hledáme reálná čísla $A,B$ taková, aby pro všechna reálná $x$ platilo $\sin x + 3 \cos x=A (2 \sin x -5 \cos x)+B(2 \cos x +5 \sin x)$ .
Rovnici upravíme do tvaru $(1-2A-5B) \sin x +(3+5A-2B) \cos x=0$ . To nás dostává k soustavě rovnic
$1-2A-5B =0$
$3+5A-2B=0$ .
Jejím řešením je $A=-\frac{13}{29}$ , $B=\frac{11}{29}$ .

Nyní celkem máme $\frac{ \sin x + 3 \cos x}{2 \sin x -5 \cos x} =\frac{-\frac{13}{29} (2 \sin x -5 \cos x)+ \frac{11}{29}(2 \cos x +5 \sin x)}{2 \sin x -5 \cos x}$ ,
takže hledaný integrál je zřejmě roven $-\frac{13}{29}x+\frac{11}{29}\ln |2 \sin x - 5 \cos x|+C$ na každém maximálním intervalu, na kterém je jmenovatel integrandu nenulový.

jelena · 29. 01. 2016 22:14

↑ Jj: ↑ Jenda358:

děkuji, to mi vůbec nedošlo, že úpravou v příspěvku č. 3 ↑ Jenda358: se docílí, že v čitateli je derivace jmenovatele (popř. s úpravou dle dalšího návodu ↑ Jenda358:).
nejspíš pro potřeby výpočtu (autor tématu asi ještě nemůže použit) by také šlo použit přepis goniometrických funkcí do komplexních tvarů, ale metoda kolegy ↑ Jenda358: je rozhodně lépe přehledná a využitelná. Děkuji.

Contemplator · 30. 01. 2016 20:38

Tak taký spôsob som ešte nezažil :D a zatial sa od neho budem držať ďalej, ale je to zaujímavé, aj keď pre mňa pomerne komplikované, no radšej zatial budem používať tie jednoduchšie úpravy. Chcem sa šte spýtať ↑ Jj: na ten posledný krok čo si urobil potom čo si to dal na spoločnž menovatel ?

Al1 · 30. 01. 2016 21:12

↑ Contemplator:

Zdravím,

úprava byla následující: podívej se teď na rovnost původního a posledního výrazu jako na rovnici

$\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$

a vyjádři $\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$

$2\cdot \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\nl \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\right)$

A už jen roznásobit pravou stranu.

Al1 · 31. 01. 2016 19:11

↑ DavidMath:

Zdravím,

založ si, prosím, své vlastní téma v souladu s pravidly fóra. Děkuji.

DavidMath · 31. 01. 2016 19:39

↑ Al1: Tak já myslel, že nemám právě načínat nová témata týkající se např. integrálů, jak je to všude na veškerých internetových fórech. Tady je to asi zvláštní výjimka, kterou napravím.

jelena · 31. 01. 2016 23:37

Zdravím,

↑ DavidMath: ano, dle pravidel (a ze zkušeností s přehlednosti diskusí) je samostatné téma na jednu úlohu zabezpečuje přehlednost. Ještě ke skrytému příspěvku - zaplacení WA lze úspěšně nahradit použitím MAW, zrovna u integrálů poskytuje možnost projít postup krokově a hodně podrobně. V případě problémů s použitím lze konzultovat v sekci podpory.

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2016 22:36

Integrály

#2 27. 01. 2016 23:03 Příspěvek uživatele Hansikii byl skryt uživatelem Hansikii. Důvod: Raději at si počka na radu někoho zkušenějšího

#3 27. 01. 2016 23:31 — Editoval Jenda358 (27. 01. 2016 23:35)

Re: Integrály

#4 29. 01. 2016 11:52

Re: Integrály

#5 29. 01. 2016 18:22

Re: Integrály

#6 29. 01. 2016 19:28

Re: Integrály

#7 29. 01. 2016 20:15 — Editoval Jenda358 (29. 01. 2016 20:15)

Re: Integrály

#8 29. 01. 2016 20:47

Re: Integrály

#9 29. 01. 2016 22:14

Re: Integrály

#10 30. 01. 2016 20:38

Re: Integrály

#11 30. 01. 2016 21:12

Re: Integrály

#12 31. 01. 2016 18:52 — Editoval DavidMath (31. 01. 2016 18:57) Příspěvek uživatele DavidMath byl skryt uživatelem DavidMath. Důvod: Prý nemohu vkládat do cizího tématu...

#13 31. 01. 2016 19:11

Re: Integrály

#14 31. 01. 2016 19:39

Re: Integrály

#15 31. 01. 2016 23:37

Re: Integrály

Zápatí