Matematické Fórum

Tomas5 · 28. 01. 2016 16:24 — Editoval Tomas5 (28. 01. 2016 17:21)

Dobrý den, narazil jsem na úlohu, se kterou si nevím rady, přestože je k němu nápověda.

Spočtěte $\sum_{k=0}^{n}\frac{{{3k+1}\choose{k}}{{2n}\choose{2k}}}{{{3k}\choose{k}}4^n}=?$
Nápověda (chyták - nemusí vést k řešení) :

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Je známý výsledek -

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

, ale nevím jakým postupem se k němu dostat. Děkuji za odpovědi.

Pavel · 28. 01. 2016 18:51

↑ Tomas5:

Krok I.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tomas5 · 28. 01. 2016 19:43

↑ Pavel:

Děkuji.
Takhle?
$\sum_{k=0}^{n}\frac{{{3k+1}\choose{k}}{{2n}\choose{2k}}}{{{3k}\choose{k}}4^n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){{2n}\choose{2k}}}{{(2k+1)}4^n}$ , a co dál, prosím?

Pavel · 28. 01. 2016 20:12

↑ Tomas5:

Teď bych zkusil z kombinačního čísla ${2n\choose 2k}$ "nějak vytvořit" kombinační číslo ${2n+1\choose 2k+1}$

Tomas5 · 28. 01. 2016 20:32 — Editoval Tomas5 (28. 01. 2016 20:55)

↑ Pavel:
Děkuji. Krásné, to jsem vůbec neviděl. Takže ${2n\choose 2k}={2n+1\choose 2k+1}\frac{2k+1}{2n+1},$ pak bude $\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){{2n}\choose{2k}}}{{(2k+1)}4^n}$ $(\frac{1}{2n+1})\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){2n+1\choose 2k+1}{(2k+1)}}{{(2k+1)}4^n}=(\frac{1}{2n+1})\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}$ a protože je $\sum_{k=0}^{n}\frac{2n+1\choose 2k+1}{}\frac{1}{4^n}=1$
$(\frac{1}{2n+1})\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}=(\frac{1}{2n+1})\sum_{k=0}^{n}(3k+1)$ . Je to dobře? A co dál?

Pavel · 28. 01. 2016 21:28

↑ Tomas5:

Tak jednoduše to nejde, se sumou takhle pracovat nemůžeš, tj.

$\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}\mathrel{\color{red}\boldsymbol{\neq}}\sum_{k=0}^{n}(3k+1)\cdot \sum_{k=0}^{n}\frac{{2n+1\choose 2k+1}}{4^n}$

Pomůže Ti, když najdeš konstanty $\alpha$ a $\beta$ takové, že

$3k+1=\alpha(2k+1)+\beta$

Sumu vlevo pak rozepiš na dvě sumy:

$\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}=\alpha\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}+\beta\sum_{k=0}^{n}\frac{{2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}$

a budeš téměř na konci.

Tomas5 · 28. 01. 2016 21:51 — Editoval Tomas5 (28. 01. 2016 22:37)

↑ Pavel:
Ano, dobře tak v tom případě $\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}=\frac{3}{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}+(-\frac{1}{2})\sum_{k=0}^{n}\frac{{2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}=\frac{3}{2}\sum_{k=0}^{n}{(2k+1)}+(-\frac{1}{2})\sum_{k=0}^{n}1=$ , tedy $(\frac{1}{2n+1})\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}=(\frac{1}{2n+1})(\frac{3}{2}\sum_{k=0}^{n}{(2k+1)}+(-\frac{1}{2})\sum_{k=0}^{n}1)=(\frac{1}{2n+1})(\frac{3}{2}(n+1)^{2}+(-\frac{1}{2})(n+1))=$

Edit: Mám to špatně.

Pavel · 28. 01. 2016 21:59

↑ Tomas5:

Opět stejná chyba

$\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}\mathrel{\color{red}\boldsymbol{\neq}}\sum_{k=0}^{n}(2k+1)\cdot \sum_{k=0}^{n}\frac{{2n+1\choose 2k+1}}{4^n}$

První suma se upraví takto (a na konci se použije nápověda):

$\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k+1){2n+1\choose 2k+1}}{4^n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k+1)\frac{2n+1}{2k+1}{2n\choose 2k}}{4^n}=(2n+1)\sum_{k=0}^{n}\frac{{2n\choose 2k}}{4^n}=\dots$

Druhá suma je rovna 1 (bez sumačního znaku), tj.

$\sum_{k=0}^{n}\frac{{2n+1\choose 2k+1}}{4^n}=1$

Tomas5 · 28. 01. 2016 22:33 — Editoval Tomas5 (28. 01. 2016 22:35)

↑ Pavel:

Ano, dobře tak v tom případě $\sum_{k=0}^{n}\frac{(3k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}=\frac{3}{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k+1){2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}+(-\frac{1}{2})\sum_{k=0}^{n}\frac{{2n+1\choose 2k+1}}{{}4^n}$ podle tvého návodu $\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k+1){2n+1\choose 2k+1}}{4^n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k+1)\frac{2n+1}{2k+1}{2n\choose 2k}}{4^n}=(2n+1)\sum_{k=0}^{n}\frac{{2n\choose 2k}}{4^n}=\frac{2n+1}{2}$ a $\sum_{k=0}^{n}\frac{{2n+1\choose 2k+1}}{4^n}=1$ , tedy

Děkuji Vám moc. :-)

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2016 16:24 — Editoval Tomas5 (28. 01. 2016 17:21)

řada s kombinačními čísly

#2 28. 01. 2016 18:51

Re: řada s kombinačními čísly

#3 28. 01. 2016 19:43

Re: řada s kombinačními čísly

#4 28. 01. 2016 20:12

Re: řada s kombinačními čísly

#5 28. 01. 2016 20:32 — Editoval Tomas5 (28. 01. 2016 20:55)

Re: řada s kombinačními čísly

#6 28. 01. 2016 21:28

Re: řada s kombinačními čísly

#7 28. 01. 2016 21:51 — Editoval Tomas5 (28. 01. 2016 22:37)

Re: řada s kombinačními čísly

#8 28. 01. 2016 21:59

Re: řada s kombinačními čísly

#9 28. 01. 2016 22:33 — Editoval Tomas5 (28. 01. 2016 22:35)

Re: řada s kombinačními čísly

Zápatí