Matematické Fórum

Ginco · 23. 05. 2009 17:43

Ahoj všem, potřeboval bych poradit prosím.

Mám rozhodnout o stejnoměrné konvergenci této posloupnosti:

$f_n(x)=\frac{nx}{1+n+x}\text{ na mnozine }M\in<0;1>$

Urcil jsem si limitni funkci : f(x)=x

Ted hledám $\sigma_n=sup|\frac{nx}{1+n+x}-x|$ přičemž $x\in<0;1>$

Dospěl jsem do stádia : $...=sup\frac{x(1+x)}{1+n+x}$

a ted nevím co dál...mám zkusit dosadit krajní body popřípadě ješte dosadit? děkuji

Marian · 23. 05. 2009 18:46

↑ Ginco:
Vycházel bych z jiných prostředků pro ověření stejnoměrné konvergence. Často může být problém vůbec limitní funkci nalézt. Lepší je použít Cauchyovu-Bolzanovu podmínku stejnoměrné konvergence, která s limitní funkcí nepracuje. Je zapotřebí studovat následující rozdíl pro libovolné x z množiny M, přičemž čísla m a n jsou přirozená, m>n:

Ale ať si zvolím libovolně malé $\varepsilon >0$ , pak vždy najdu takové přirozené číslo k, že pro každé $x\in M$ a všechna přirozená čísla m, n taková, že $m>n\ge k$ , platí nerovnost
$\left |f_n(x)-f_m(x)\right |<\varepsilon ,$
což je jistě možné, jak vyplývá z předchozího odhadu platného pro $\forall x\in M$ .

Ginco · 23. 05. 2009 18:54

↑ Marian:

mohl bych se jen zeptat na ten odhad? asi jsem ho neprokoukl...děkuji

Ginco · 23. 05. 2009 18:56

a nestačilo by nějak dokázat, že daná posloupnost je rostoucí, tedy že $sup\frac{x(1+x)}{1+n+x}=\frac{2}{n+2}?$

Marian · 23. 05. 2009 19:00

↑ Ginco:
Takže takto:
$\max_{x\in M} (x(1+x))=2,\qquad \left |n-m\right |=m-n<m,\qquad\max_{x\in M}\left (\frac{1}{1+m+x}\right )=\frac{1}{1+m}<\frac{1}{m}.$

Ginco · 23. 05. 2009 19:03 — Editoval Ginco (23. 05. 2009 19:03)

↑ Marian:

jasně, to mi nedošlo, díky moc

teď jsem ale narazil zase na nějaký příklad :

$f_n(x)=\frac{2x}{1+n^2x^2}\text{ na mnozine }M=R$

tady asi Cauchy bude jediná možnost že?

Marian · 23. 05. 2009 19:13 — Editoval Marian (23. 05. 2009 19:14)

↑ Ginco:
Tvá úloha je vyřešena zde v sekci Ověřování ..., Příklad 4. Mohlo by tě tam zajímat více věcí. Jen množina proměnné "x" je jiná, ale tam se nic nemění, to zjistíš docela brzy.

Ginco · 23. 05. 2009 19:15

↑ Marian:

děkuji !!

Ginco · 23. 05. 2009 19:19

ale tím způsobem, kterým je to řešeno na té stránce to já řešit nemohu ne?

já mam množinu otevřenou neomezenou, takže nemůžu přejít z sup -> max

proto nevím jak příklad s takto zadanou množinou řešit

Marian · 23. 05. 2009 19:22 — Editoval Marian (23. 05. 2009 19:24)

↑ Ginco:
Jde tam o globální extrémy, které jsou dokonce platné na R.

Ginco · 23. 05. 2009 20:27 — Editoval Ginco (23. 05. 2009 20:28)

tak a zase zásek :

stejne zadani

$[tex]f_n(x)=sqrt{x+\frac{1}{n}}-sqrt{x}\text{ na mnozine }M=<0;\infty)$

fcní limita je opet nula, zkousel jsem to |f_n(x)-f(x)| nejak omezit a nic a kdyz budu derivovat, tak taky nic...pomoc pls

Marian · 23. 05. 2009 21:05

↑ Ginco:
Je
$f_n(x)=\frac{1}{n\left (\sqrt{x+\frac{1}{n}}+\sqrt{x}\right )}\quad\Rightarrow\quad f^{\prime}_n(x)=\frac{-1}{2n\sqrt{x}\sqrt{x+\frac{1}{n}}\left (\sqrt{x+\frac{1}{n}}+\sqrt{x}\right )}<0.$
Pro libovolné přirozené číslo n tedy je funkce f_n(x) klesající. Odtud
$\max_{x\in\mathbb{R}^+}\nosmash f_n(x)=f_n(0)=\frac{1}{\sqrt{n}}.$
Odtud je stejnoměrná konvergence na M jasná.

Ginco · 23. 05. 2009 21:25

↑ Marian:

děkuju mnohokrát!!!

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2009 17:43

funkční posloupnost

#2 23. 05. 2009 18:46

Re: funkční posloupnost

#3 23. 05. 2009 18:54

Re: funkční posloupnost

#4 23. 05. 2009 18:56

Re: funkční posloupnost

#5 23. 05. 2009 19:00

Re: funkční posloupnost

#6 23. 05. 2009 19:03 — Editoval Ginco (23. 05. 2009 19:03)

Re: funkční posloupnost

#7 23. 05. 2009 19:13 — Editoval Marian (23. 05. 2009 19:14)

Re: funkční posloupnost

#8 23. 05. 2009 19:15

Re: funkční posloupnost

#9 23. 05. 2009 19:19

Re: funkční posloupnost

#10 23. 05. 2009 19:22 — Editoval Marian (23. 05. 2009 19:24)

Re: funkční posloupnost

#11 23. 05. 2009 20:27 — Editoval Ginco (23. 05. 2009 20:28)

Re: funkční posloupnost

#12 23. 05. 2009 21:05

Re: funkční posloupnost

#13 23. 05. 2009 21:25

Re: funkční posloupnost

Zápatí