Matematické Fórum

docasne123 · 23. 05. 2009 21:59

Ahoj,
nějak mi nevychází dělení
$(4x^8 - 17x^6 + 17x^2 - 4 ) : (x - 1)$ .

Pozn. má se jednat o (záporně) reciprokou rovnici. Chci se zeptat jestli jdu vůbec správným směrem. Kladně reciproké rovnice (kde jsou exponenty sestupně postupně) mi jdou, ale tady se nějak nemůžu dostat ke správnému výsledku. Ten mnohočlen má být i zadání oné rovnice (pro jistotu to napíšu samostatně znovu). Chci se zeptat jestli vůbec tím dělením začínám dobře, nebo jestli dělám nějakou blbost.
$4x^8 - 17x^6 + 17x^2 - 4 = 0$

Díky

Alivendes · 23. 05. 2009 23:04

víš,jak se dělí mnohočleny ?

docasne123 · 23. 05. 2009 23:32

Měl jsem pocit, že jo ;-). Už jsem to vydělil, furt jsem tam dělal stenou chybu (opačně znaménko), a tak mi tam neustále vycházel zbytek.

Dostal jsem se na
$4x^7 + 4x^6 - 13x^5 - 13x^4 - 13x^3 - 13x^2 + 4x + 4 = 0$
Je to lichý stupěň I. druhu reciproké rovnice, tak jsem to znovu vydělil, teď ale výrazem (x + 1)

Výsledek je (věřím, že dobrý):
$4x^6 - 13x^4 - 13x^2 + 4 = 0$
Mohl by mi někdo poradit jak dál ?
(Zkoušel jsem vydělit $x^2$ nebo $x^3$ , pak ale nevím co s tím.)

Alivendes · 23. 05. 2009 23:46

podívám se na to :)
$4x^7 + 4x^6 - 13x^5 - 13x^4 - 13x^3 - 13x^2 + 4x + 4 = 0$
$4(x^7+x^6+x+1)-13x^2(x^3+x^2+x+1)=0$
$(x^3+x^2+x+1)(4x^4+4x^3-13x^2)=0$
Teď už to půjde ne ?:)

docasne123 · 23. 05. 2009 23:57

Díky moc pustím se zatím s počítáním dál. Mohl bych ale ještě poprosit o vysvětlení/rozepsání co jsi udělal mezi 2. a 3. krokem že ti vzniklo to co ti vzniklo. Chápu že do druhého obrázku jsi vytkl ze členů čísla 4 a 13. (Základní operace s mnohočleny jsem si bohužel nidky neosvojil).

Alivendes · 24. 05. 2009 00:06

:) jasný,hele nejdřív vytkneš čtyřku z členů,kde je čtyřka,potom jsem ztěch zbylých vytknul minus třináct,ale vznikl tam patvar,proto sem vytknul -13x na druhou....Potom jsem vytknul,co měli ty závorký společné a vzniklo stoho tohle....když by nevyšli kořeny,tak to skontroluj a nebudeš-li si vědět rady,možná to bude má chyba,já to kontroloval,mělo by to být dobře,ale je přeci jenom půlnoc a já nemám ve zvyku o půlnoci počítat rovnice sedmého stupně :D

jelena · 24. 05. 2009 00:14

↑ docasne123:

Zdravím, myslím, že kolega ↑ Alivendes: má velmi netradiční postup - asi to sam vysvětli.

Nekontrolovala jsem tvoje jednotlivé kroky, ale pokud je toto OK: $4x^6 - 13x^4 - 13x^2 + 4 = 0$ , pak máš dělit $x^3$ .

V dalším kroku vytkneš z 1. a 4. členu 4 (v závorce bude $x^3+\frac{1}{x^3}$ ) a z 2. a 3. clenu vytknes (-13) (v závorce $x+\frac{1}{x}$ )

substituce $x+\frac{1}{x}=y$

Je to trochu hopem, snad nemám nějaký úlet.

OK?

Alivendes · 24. 05. 2009 00:18

nevím,proč by mělo být vytýkání netradiční postup,je fakt,ze takhle se to také řeší...ja to nemam rad ale

docasne123

To[Alivendex]
Doufám, že neponocuješ jenom kvůli mně. Díky za vysvětlení, myslím, že jsem to pochopil, a myslím že to máš dobře, jenže...
z té 1. závorky jsem vydělil (x+1) zbylo $x^2 + 1$ => kořeny $x_1 = 1,\,x_2 = -1$ .Což je ok (btw. správné kořeny mají být $1, -1, 2, -2, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, i, -i$ .Dokonce jsem i na internetu našel nějaký hledač kořenů rovnic, který potvrdil, že to tak má být (není špatné zadání).
Ale z té 2. závorky (edit: převedl jsem na kvadratickou rovnici) mi vychází hrozné čísla.
Edit: a navíc z kvadtarické nevydoluju 4 kořeny vím, že je možné kořeny "ztratit" nebo si naopak jich víc "vytvořit" nevíš ve které fázi jsem je "ztratil" já a jak je můžu dopočítat ?

To[Jelena]:Nehci se hádat (navíc v tuhle noční hodinu) když vydělím $x^3$ nevzniknu spíše $4x^2 - 13x - \frac{13}{x} + \frac{4}{x^3}$ kde sice najdu ten člen $x+\frac{1}{x}$ ale už ne $x^3+\frac{1}{x^3}$ .

Dotaz (navíc): torchu předbíhám, ale ... vím jak mám substituovat až do $x^4+\frac{1}{x^4}$ (našel jsem to na netu), nechápu jak to ale odvodili, a jak by se substituovaly vyšší exponenty jako $x^5+\frac{1}{x^5}$ atd.

Ad. Omlouvám se za překlepy (Edit: a jestli vás matematicky urážím a píšu už bludy).

jelena · 24. 05. 2009 00:31

↑ docasne123:

$4x^6:x^3=4x^3$

Vše OK, ale myslím, že už je dost pozdní hodina, tak bychom to mohli nechat na zitra. Souhlas?

docasne123 · 24. 05. 2009 00:34

↑ jelena:
jo, omlouvám se. Já ty exponenty dělil místo odčítal, jejej.

Alivendes · 24. 05. 2009 00:35

jj dobrou noc :D

jelena · 24. 05. 2009 00:38

↑ Alivendes:

Dobrou :-)

↑ docasne123:

Já bych poprosila o další postup kolegu halogana, pokud má čas a naladu, děkuji :-)

jinak opravdu až zítra. OK?

halogan · 24. 05. 2009 00:46

↑ jelena:

No hele nevím. Reciproké (nebo polynomické obecně) rovnice jsem již přesně rok nedělal a pamatuji si akorát Hornerovo schéma a substituci y = x + 1/x

Nějak nechápu, jak postupoval kolega ↑ Alivendes:, tak jsem si řekl, že to vyřeším po svém.

Z původního
$4x^7 + 4x^6 - 13x^5 - 13x^4 - 13x^3 - 13x^2 + 4x + 4 = 0$

Jsem povytýkal co šlo a tím pádem "vyhodil" x+1. Pak se ale dostávám do úzkých. Resp. mohu dělit $(x \pm 2)$ , ale neznám nějaké univerzální řešení. A to dělení provádím právě podle Hornera.

Kondr · 24. 05. 2009 00:48

Postup urychlí, když si všimneme, že jsou všechny mocniny sudé. V rovnici
$4x^8 - 17x^6 + 17x^2 - 4 = 0$
uděláme substituce $x^2=y$ , máme
$4y^4 - 17y^3 + 17y - 4 = 0$ , po vydělení y-1
$4y^3 - 13y^2 -13y + 4= 0$ , po vydělení y+1
$4y^2 - 17y + 4= 0$
Vyřešíme kvadratickou rovnici, vyjde y=4 a y=1/4. Máme tedy 4 různé možnosti pro y, z nich 8 možností pro x.

docasne123 · 24. 05. 2009 01:29

Děkuji za prosté řešení od Kondry (já si předtím lámal hlavu jak to mám zjednodušit, když tam nemám všechny členy a přitom stačila "jenom" substituce). Kořeny tedy vyjdou, kdyby se to hodilo i někomu jinému.
$x_{1,2}^2 = \frac{1}{4} \to x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \to x_{1,2} = \pm \frac{1}{2}$
$x_{3,4}^2 =4 \to x_{3,4} = \pm\sqrt{4} \to x_{3,4} = \pm 2$
$x_{5,6}^2 = 1 \to x_{5,6} = \pm\sqrt{1} \to x_{5,6} = \pm 1$
$x_{7,8}^2 = -1 \to x_{7,8} = \sqrt{-1} \to x_{7,8} = 1\sqrt{\pm i^2} \to x_{7,8} = \pm i$

Můžu se zepta jak bych se k té komplexní jednotce dostal přes ten druhý postup ? Při 1. dělením mám kořen $x_1 = 1$ po druhém dělení $x_1 = -1$ , pak mám substituci kde $y_{1,2} = \pm \frac{5}{2} \quad \textrm{dosazeni zpet} \quad x_{3,4} = 2,\quad \frac{1}{2} \quad \textrm{a} \quad x_{5,6} = -2,\quad\frac{-1}{2}$ . Nevím jak bych to nalezení kořenů $x_{7,8} = \pm i$ zdůvodnil zde.

Opravdu děkuji všem za pomoc a ochotu.

Pozn. Omlouvám se, že jsem lhal, ale nemohl jsem to vydržet.

halogan · 24. 05. 2009 01:38

↑ docasne123:

Někde výše jsi psal, že ti zbylo (x^2 + 1) = 0. A tam je kořenem +-i.

Případně u řešení ↑ Kondr: ti po dosazení ze substituce vyjde také x^2 + 1 = 0

---

Jinak z formálního hlediska ti nemůžu odkývat zejména poslední řádek:
$x_{7,8}^2 = -1 \to x_{7,8} = \sqrt{-1} \to x_{7,8} = 1\sqrt{\pm i^2} \to x_{7,8} = \pm i$

Když už, tak něco ve smyslu

$x_{7,8}^2 = -1 \to |x_{7,8}| = \sqrt{-1} \to |x_{7,8}| = i$

(i když nevím, jak mohu vkládat absolutní hodnotu kolem množiny dvou prvků).

Spíš mi šlo o tu konstrukci $\sqrt{\pm i^2}$ , protože to po vyčíslení vyjde $\sqrt{\mp 1}$ , což není to samé, jako $\pm i$

Kondr · 24. 05. 2009 01:46

↑ halogan:
Zápis $x_{7,8}^2 = -1 \to |x_{7,8}| = \sqrt{-1} \to |x_{7,8}| = i$ má tu chybu, že $|x_{7,8}| = 1$ a ne $|x_{7,8}| = i$ .
šlo by to snad "spravit" takto:
$x_{7,8}^2 = -1 \to x_{7,8} = \sqrt{(\pm i)^2} \to x_{7,8} = \pm i$
ale osobně bych radši přechod od y k x popsal slovně ...

gadgetka · 24. 05. 2009 02:02

šlo by rovnici i upravit následovně (?)

$4x^8 - 17x^6 + 17x^2 - 4 = 0\nl4(x^8-1)-17x2(x^4-1)=0\nl4(x^4-1)(x^4+1)-17x^2(x^4-1)=0\nl(x^4-1)(4x^4+4-17x^2)=0\nl(x^2-1)(x^2+1)(4x^4-17x^2+4)=0\nl(x-1)(x+1)(x^2+1)(4x^4-17x^2+4)=0\nl(x-1)(x+1)(x^2+1)(x+2)(x-2)(2x+1)(2x-1)=0$

jelena · 24. 05. 2009 11:51

Zdravím vás,

jiz tradiční poděkování kolegovi Kondroví za uvedení k rozumnému stavu a omluva za moji nedostatecnou duslednost.

Ano, měla jsem projit celé zadání a postup od začátku, ale reagovala jsem pouze na návrh ↑ Alivendes:, na dotaz ↑ docasne123: a na název tématu.

Naštěstí jsem žádné nepovolené kroky neprováděla. A pokud někoho jen vseobecne zajimá substituce používána v těchto typech reciprokých rovnic, tak to je tak:

$x+\frac{1}{x}=y$ levou a pravou umocnime

_____________________________

$(x+\frac{1}{x})^2=y^2$

$x^2+2x\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=y^2$

$x^2+2+\frac{1}{x^2}=y^2$

$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$

_______________________________

potrebujeme na 3. mocninu:

$(x+\frac{1}{x})^3=y^3$

$x^3+3x^2\frac{1}{x}+3x\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=y^3$

$x^3+3(x+\frac{1}{x})+\frac{1}{x^3}=y^3$

$x^3+\frac{1}{x^3}=y^3-3(x+\frac{1}{x})$

$x^3+\frac{1}{x^3}=y^3-3y$

_______________________________

vyssi rozvoje podle binomicke vety nebo mozna by slo odvodit indukci, nezkousela jsem.

docasne123 · 24. 05. 2009 18:23

Ten rozklad vypadá taky zajímavě. Byl by někdo tak ochotný a vysvětlil by mi slovně co udělala (jak postupovala) v předposledním řádku s poslední závorkou
$4x^4 - 17x^2 + 4$
že z toho dostala
$(x + 2)(x - 2)(2x + 1)(2x -1)$

ad. ta komplexní jednotka. Máš pravdu místo
$\sqrt{\pm i^2}$
třeba tohle
$\pm1 \sqrt{ i^2} \Rightarrow \pm i$

Ještě jednou děkuji všem za pomoc.
Díky za to odvozování odvozením, tu binomickou větu na to zkusím (indukci myslím ještě neznám).

gadgetka · 24. 05. 2009 20:51

zvolila jsem substituci za x^2=a, vyšly 4 kořeny: +2, -2, +1/2, -1/2, odtud tedy (x-2)(x+2)(x-1/2)(x+1/2) - poslední dvě závorky lze upravit na (2x-1)(2x+1)

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2009 21:59

Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#2 23. 05. 2009 23:04

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#3 23. 05. 2009 23:32

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#4 23. 05. 2009 23:46

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#5 23. 05. 2009 23:57

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#6 24. 05. 2009 00:06

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#7 24. 05. 2009 00:14

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#8 24. 05. 2009 00:18

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#9 24. 05. 2009 00:24 — Editoval docasne123 (24. 05. 2009 00:29)

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#10 24. 05. 2009 00:31

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#11 24. 05. 2009 00:34

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#12 24. 05. 2009 00:35

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#13 24. 05. 2009 00:38

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#14 24. 05. 2009 00:46

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#15 24. 05. 2009 00:48

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#16 24. 05. 2009 01:29

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#17 24. 05. 2009 01:38

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#18 24. 05. 2009 01:46

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#19 24. 05. 2009 02:02

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#20 24. 05. 2009 11:51

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#21 24. 05. 2009 18:23

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

#22 24. 05. 2009 20:51

Re: Dělení mnohočlenu mnohočlenem (reciproká rovnice)

Zápatí