Matematické Fórum

slender · 03. 02. 2016 21:42

Zdravím,
snažím se zjistit, zda následující řada konverguje:

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} \right)^c\text{, kde }c\in\mathbb{R}$

Zatím mě napadlo to rozdělit na případy c=0, c>0, c<0 a nějakým způsobem použít podílové (d’Alembertovo) kritérium. Přijde mi to ale trochu zdlouhavé a neohrabané. Nenapadá někoho elegantnější řešení?

Předem díky... :)

kajzlik

Ahoj,

nejprve zkontroluj, zda a pro jaké hodnoty parametru $c$ je splněna nutná podmínka konvergence.

slender · 04. 02. 2016 10:59

↑ kajzlik: Máš na mysli tuto větu?
$\text{Nechť řada }\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ konverguje. Pak }\lim_{n\to+\infty}a_n=0\text{.}$

Nějak si s tím nevím rady...

Brano · 04. 02. 2016 11:29 — Editoval Brano (04. 02. 2016 11:32)

pouzi potom
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}\sim\frac{1}{\sqrt{n}}$

slender

Tak jsem tedy dospěl k následujícímu:

Použil jsem obměněnou implikaci nutné podmínky konvergence, tedy:
$\text{Pokud }\lim_{n\to+\infty}a_n\neq 0\text{, pak }\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ nekonverguje.}$

Zjišťoval jsem tedy (jak mi ↑ kajzlik: asi předtím naznačoval), kdy je limita různá od nuly. Limitu jsem si (jak mi napověděl↑ Brano:) upravil do rozumnějšího tvaru:

$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)^c=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}\right)^c=\lim_{n\to+\infty}\frac{2^c}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^c}$

A pak jsem zjišťoval, kdy se nerovná nule:
$\text{pro }c>0:$
$\lim_{n\to+\infty}\frac{2^c}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^c}=0$
$\text{pro }c<0:$
$\lim_{n\to+\infty}\frac{2^c}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^c}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^d}{2^d}=+\infty\text{, (kde }d=-c\text{, tedy } d>0 \text{)}$
$\text{pro }c=0:$
$\lim_{n\to+\infty}\frac{2^0}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^0}=1$

Tedy řada $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)$ nekonverguje pro $c\leq 0$ .

Mohu z toho usuzovat, že konverguje pro $c>0$ , protože pokud řada není nekonvergentní, pak je konvergentní?

Freedy · 04. 02. 2016 12:39

↑ slender:
ano, pro $c>0$ je splněna nutná podmínka konvergence. Nicméně z toho ještě soudit, že řada konverguje, nemůžeš. Nutnou podmínku konvergence splňuje také řada $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ a tato řada nekonverguje.

Zkus použít nyní limitní srovnávací kritérium. Srovnej to s řadou jak navrhoval ↑ Brano:

slender · 04. 02. 2016 13:34

↑ Freedy: Zkusil jsem, nejdřív jsem jako $a_n$ použil tu svou posloupnost a jako $b_n$ posloupnost $\frac{1}{\sqrt{n}}$ . Vyšlo mi ale, že

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=\infty$

z čehož můžu implikovat zase jen to, že pokud $a_n$ konverguje, pak konverguje i $b_n$ , nikoli naopak.

Stejně tak pokud posloupnosti prohodím, vyjde mi limita 0, což mi také nepomůže.

Dělám tam někde chybu?

(Pro jistotu ještě jak jsem počítal limitu:)

Nejdříve jsem si ověřil, že $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ skutečně konverguje, a to pomocí podílového kritéria: $\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}<1$ .

A pak jsem prostě počítal limitu:
$\lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{n}\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)}{(n+1)-(n-1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}}{1}=\infty$

Brano · 04. 02. 2016 13:38 — Editoval Brano (04. 02. 2016 13:38)

tu limitu si urcil zle
$\lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=1$

slender · 04. 02. 2016 13:53

↑ Brano: Díky... Dá se nějak ukázat, že $\lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=1$ ? Mně to z toho není moc jasné... resp. že $\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}\right)=1$

Freedy · 04. 02. 2016 13:59

↑ slender:
vytkni v čitateli a jmenovateli odmocninu z n. Potom využij aritmetiku limit.

slender · 04. 02. 2016 14:05

Tak tedy díky moc všem. :) Už to vychází, dává to smysl a rozumím tomu zas o trochu lépe.

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2016 21:42

Konvergence řady s reálným parametrem

#2 03. 02. 2016 21:51 — Editoval kajzlik (03. 02. 2016 22:32)

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

#3 04. 02. 2016 10:59

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

#4 04. 02. 2016 11:29 — Editoval Brano (04. 02. 2016 11:32)

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

#5 04. 02. 2016 11:39 Příspěvek uživatele slender byl skryt uživatelem slender.

#6 04. 02. 2016 12:00 Příspěvek uživatele slender byl skryt uživatelem slender. Důvod: překlik

#7 04. 02. 2016 12:12 — Editoval slender (04. 02. 2016 12:14)

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

#8 04. 02. 2016 12:36 Příspěvek uživatele Freedy byl skryt uživatelem Freedy. Důvod: xxx

#9 04. 02. 2016 12:39

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

#10 04. 02. 2016 13:34

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

#11 04. 02. 2016 13:38 — Editoval Brano (04. 02. 2016 13:38)

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

#12 04. 02. 2016 13:53

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

#13 04. 02. 2016 13:59

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

#14 04. 02. 2016 14:05

Re: Konvergence řady s reálným parametrem

Zápatí