Matematické Fórum

Denisator · 24. 05. 2009 02:04

Dobry den, neviem ako presne postupovat pri vypocte komplexneho cisla.
Dajme tomu ze chceme zistit comu sa rovna realna cast tohoto cisla ak amame:
$(1-i)^8$
Skusal som to pocitat cez Moivreovu vetu kde som najpr vypocital goniometricky tvar a nasledne dosadil hodnotu comu sa rovnal sin a cos ale nevychadza mi to. Urcite existuje aj iny sposob ako to vypocitat. Dakujem

gadgetka · 24. 05. 2009 02:11

binomická věta...

gadgetka · 24. 05. 2009 02:20

nebo:
$((1-i)^2)^4=(1-2i+i^2)^4=(1-2i-1)^4=((-2i)^2)^2=(4i^2)^2=(-4)^2=16$

halogan · 24. 05. 2009 10:15

↑ Denisator:

Na střední škole jsme používali dva postupy:

1) "Nejsprávnější" byla Moivreova věta
2) "Oklika" pomocí umocnění na druhou, viz ↑ gadgetka:. To samozřejmě nefunguje vždy.

Binomickou větu jsme nepoužili nikdy :)

Přes Moivra:

1 - i, to máme ve 4. kvadrantu, je to "v polovině", takže argument je 7/4 pí. Absolutní hodnota je $\sqrt{2}$ .

$(1 - i)^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot (\cos (8 \cdot \frac74 \pi) + i \sin (8 \cdot \frac 74 \pi))$

Přepiš si odmocninu jako 2^{1/2} a pak už to vše snad půjde.

adamo · 24. 05. 2009 10:25 — Editoval adamo (24. 05. 2009 10:26)

Ahoj, stydím se to napsat do zvláštního topicu, co znamená $\overline{z}$ kde z je komplexní číslo xD

halogan · 24. 05. 2009 10:34

Adamo: číslo komplexně sdružené. Podrobnosti vygooglíš.

adamo · 24. 05. 2009 10:37

↑ halogan:

diky, diky vim zhruba o co jde co nevim vygooglim nebo vytabulkuju :-)

adamo · 24. 05. 2009 10:40 — Editoval adamo (24. 05. 2009 10:43)

A ještě se zeptám, je teda korektní počítat:
$(1-2i)z=2\overline{z}-i(2+i) \nl (1-2i)(a+bi)=2(a-bi)-i(2+i)$
a dopočítat? Respektive v tom příkladě kterým se zabývám to vychází, ale je to obecně uznávaný postup nebo musím vzít ještě něco v potaz :-) ?

EDIT: dobrý, už vím že je, nemusíte odpovídat :-)

Denisator · 24. 05. 2009 11:59

↑ halogan:Dik za objasnenie, ale stale mi nieje jasne ako dostaneme realnu alebo imaginarnu cast, vyjde mi 16(cos14pi + i sin 14pi) pri moivreovej vete mam povazovat realnu cast cislo 16 ? to mi nieje v tom celkom jasne, na svk na strednej sa komplexne cisla nepreberaju, preto amm v tom taky bordel iba z googlovania.
1 - i, to máme ve 4. kvadrantu, je to "v polovině", takže argument je 7/4 pí - mozem sa opytat podla coho to vieme previest ?
Dakujem

halogan · 24. 05. 2009 12:29

↑ Denisator:

Tak to dále rozvedu.

Nebudeme brát pouze 16 jako reálnou složku, protože stále je prává část v součinu. Musíme tedy nejprve vyčíslit siny a cosiny, poté roznásobit 16 a pak až určovat složky. Máme tedy 14pí, což je díky periodě vlastně 0pí. Pak nám pravá strana rovnice vychází $16 \cdot (\cos 0 + i \sin 0)$ , což je 16*(1 + i*0) = 16

Výsledek je tedy 16 + 0i.

Co se týče toho argumentu:

Tady graficky řešíš, kde se dané komplexní číslo nachází, v jakém kvadrantu. Když je reálná složka kladná, tak musí být v prvním či čtvrtém kvadrantu. Když je záporná imaginární složka, tak musí být ve čtvrtém či třetím kvadrantu. Z toho nám vychází, že toto komplexní číslo se nachází ve čtvrtém kvadrantu. Nakresli si to a lépe to pochopíš.

To "v polovině" jsem myslel tak, že nemusíme počítat přes goniometrické funkce argument, protože spojnice nuly a tohoto čísla leží na ose druhého a čtvrtého kvadrantu - dělí tedy úhel os (90 stupňů) na polovinu - tj. 45 stupňů. K tomu je však potřeba připočítat 270 stupňů, protože zde řešíme úhel, který svírá s kladnou poloosou x.

Nakreslil jsem to takto:

Omlouvám se za kvalitu, je to kresleno myší.

Denisator

↑ halogan:Aha no je mi to celkom jasnejsie, tak skusim tu dat nejaky moj vypocet ci to spravne chapem :
(1-i)^32
takze po upravach zistim ze je to v spolocom stvrtom kvadrante takze cos7/4*32+ i sin 7/4*32
takze nam vyjde 2^16( cos 0 + i * sin 0 ) = 2^16 ( 1 + i*0 ) = 2^16
ale bohuzial to nieje spravny vysledok. Neviem kde som urobil chybu.

Pomocou haloganovho dobreho postupu to musi sediet, tak zrejme maju chuby oni.

Denisator · 24. 05. 2009 21:38

↑ Denisator:Prosim vas nevie niekto pozriet ci to mam naozaj spravne ? Dakujem

musixx · 25. 05. 2009 16:06

↑ Denisator: Ano, mas. $(1-i)^{32}=2^{16}$ .

vonSternberk · 30. 05. 2009 14:27

jak mám postupovat v řešení tohoto příkladu:
určete velikost komplexního čísla $z=\frac{2i}{1-i}+\frac{i}{1+i}$

marnes · 30. 05. 2009 14:29

↑ vonSternberk:Převést na jeden zlomek a určit absolutní hodnotu

lukaszh · 30. 05. 2009 14:31

↑ vonSternberk:
Veľkosťou asi myslia |z|. Najprv to treba upraviť na algebraický tvar a potom použiť Pythagorovu vetu. Pripomeniem, že
$\frac{a+b\rm{i}}{c+d\rm{i}}=\frac{a+b\rm{i}}{c+d\rm{i}}\cdot\frac{c-d\rm{i}}{c-d\rm{i}}=\frac{ac+bd+(ad-bc)\rm{i}}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{ad-bc}{c^2+d^2}\rm{i}$

vonSternberk · 30. 05. 2009 14:44

když to převedu na jeden zlomek tak mi vyjde $\frac{2i+2i^2+i-i^2 }{1-i^2}$ a dalej $\frac{i^2+3i}{1-i^2}$ a teďkon nemůžu ty "ička na druhou" upravit dle vzorce $i^2=-1$

gadgetka

↑ vonSternberk:

proč bys nemohl? Ve jmenovateli vyjde dvojka, nikoli 0, jak si asi myslíš $1-(-1)=2$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2009 02:04

Komplexne cisla

#2 24. 05. 2009 02:11

Re: Komplexne cisla

#3 24. 05. 2009 02:20

Re: Komplexne cisla

#4 24. 05. 2009 10:15

Re: Komplexne cisla

#5 24. 05. 2009 10:25 — Editoval adamo (24. 05. 2009 10:26)

Re: Komplexne cisla

#6 24. 05. 2009 10:34

Re: Komplexne cisla

#7 24. 05. 2009 10:37

Re: Komplexne cisla

#8 24. 05. 2009 10:40 — Editoval adamo (24. 05. 2009 10:43)

Re: Komplexne cisla

#9 24. 05. 2009 11:59

Re: Komplexne cisla

#10 24. 05. 2009 12:29

Re: Komplexne cisla

#11 24. 05. 2009 13:52 — Editoval Denisator (24. 05. 2009 13:57)

Re: Komplexne cisla

#12 24. 05. 2009 21:38

Re: Komplexne cisla

#13 25. 05. 2009 16:06

Re: Komplexne cisla

#14 30. 05. 2009 14:27

Re: Komplexne cisla

#15 30. 05. 2009 14:29

Re: Komplexne cisla

#16 30. 05. 2009 14:31

Re: Komplexne cisla

#17 30. 05. 2009 14:44

Re: Komplexne cisla

#18 30. 05. 2009 17:34 — Editoval gadgetka (30. 05. 2009 17:41)

Re: Komplexne cisla

Zápatí