Matematické Fórum

Pritt · 07. 02. 2016 22:00

Zdravím, mohl by někdo ochotný poradit, jak odvodit, že $lim_{n \rightarrow +\infty}{(cos(n))^{\frac{1}{n}}} = 1$
Díky za každý tip!

Sherlock

Řekl bych že limita neexistuje. V definičním oboru jsou "díry" a limita funkce v nekonečnu dle definice vyžaduje, aby byla funkce na nějakém levém okolí nekonečna definovaná.

Pavel · 07. 02. 2016 22:48

↑ Sherlock:

Záleži na tom, zda n je nebo není přirozené číslo. Pokud ano, pak limita existuje a vychází opravdu 1. Nicméně dokázat, že tomu tak je, není triviální. Standardní prostředky mat. analýzy na to bohužel nestačí. Je mi divné, jak se takový příklad dostal do sekce "Úvod do studia".

byk7 · 07. 02. 2016 22:50

↑ Pavel:

Zajímavé, můžete svoje tvrzení dokázat? Nebo odkázat na nějaké materiály? Děkuji.

Pritt · 07. 02. 2016 22:58 — Editoval Pritt (07. 02. 2016 22:59)

↑ Pavel:

Dostal se do této sekce spíše náhodou. Hledal jsem dvojice posloupností:
$lim \; a_{n} = 1$
$lim \; b_{n} = +\infty$
$lim \; (a_{n})^{b_{n}} - neexistuje$

Našel jsem, že $lim \; (cos(n))^{\frac{1}{n}} = 1$
tedy $b_{n} = n$
$lim \; (a_{n})^{b_{n}} = cos(n) - neexistuje$
$n$ je přirozené
Zajímalo, mě jak to dokázat, ale netušil jsem, že to je tak náročné.

Pavel · 07. 02. 2016 23:11

↑ byk7:

Beru částečně zpět svůj postřeh, vyšetřoval jsem limitu s absolutní hodnotou funkce cos. Původní limita i v případě přirozených čísel samozřejmě neexistuje.

Al1 · 07. 02. 2016 23:14

↑ Pavel:

Zdravím,

rád bych se poučil. Mohl bys, prosím, okomentovat řešení z tohoto odkazu?

van Thomas

↑ Pritt:
Ahoj, hledal jsi takovou dvojici, nebo jsi chtěl dokázat, že to platí pro každou takovou dvojici? (Neplatí)

van Thomas · 07. 02. 2016 23:16

↑ Al1:
to je nějaká hovadina ;-)

Pavel · 07. 02. 2016 23:17

↑ Al1:

Není mi jasné, jak se přišlo na to, že

$\lim_{x\to\infty}(-1)^{1/x}=1$

van Thomas

$(-1)^\frac1x$ samozřejmě není (obecně) definované

Pritt · 07. 02. 2016 23:19 — Editoval Pritt (07. 02. 2016 23:19)

↑ van Thomas:
hledal jsem jednu takovou dvojici, wolfram mě navedl k tomu, že ta limita, o které se tu spekuluje, je rovna 1. :-)
Tak jsem se chtěl přesvědčit.

byk7 · 07. 02. 2016 23:20

↑ Pavel: Děkuji za poznámku, ale jak se teda vyšetří limita posloupnosti $\bigl|\cos(n)\bigr|^{1/n}$ ?

van Thomas

↑ Pritt:
A znáš nějakou typickou posloupnost typu $1^{+\infty}$ ? Slyšels o $\left(1+\frac1n\right)^n$ ?

Al1 · 07. 02. 2016 23:23

↑ Pavel:↑ van Thomas:

Děkuji :-)

Pritt · 07. 02. 2016 23:24

↑ van Thomas:

Není mi jasné, proč se ptáš.
Zadání je:
Najděte posloupnosti (an), (bn) tak, že lim an = 1, lim bn = +infty a zároveň lim an^bn neexistuje.

van Thomas

↑ Pritt:
Že bys ji mohl zkusit zmodifikovat, aby limita neexistovala ;-)
Napadá tě něco?

Pritt · 07. 02. 2016 23:32

↑ van Thomas:

Jedině něco s an = (-1)^(2*n), ještě snažím nějak zapracovat tu druhou

van Thomas · 07. 02. 2016 23:34

↑ Pritt:
Něco takového, jen $(-1)^{2n}$ je pro $n\in\mathbb N$ vždy $1$ .

Pritt · 07. 02. 2016 23:39

↑ van Thomas:

Co takhle :
$a_{n} = (-1)^{2n}$
$b_{n} = (1+ \frac{1}{n})^{n^{2}}$

Potom limita
$lim \; (a_{n})^{b_{n}}$
By nemusela existovat?

van Thomas · 07. 02. 2016 23:41

↑ Pritt:
To ne, $a_n=1$ , takže $a_n^{b_n}=1$ . $b_n$ zbytečně komplikuješ, nech klidně $n$ a promysli $a_n$ .

Pavel · 07. 02. 2016 23:41

↑ byk7:

Dobrá otázka. Přesunu ji do sekce zajímavých úloh :-)

Pritt · 08. 02. 2016 00:35 — Editoval Pritt (08. 02. 2016 00:36)

↑ van Thomas:

$a_{n} = (-1)^{\frac{1}{n}}$
$b_{n} = n^{2}$
$lim \; a_{n}^{b_{n}} = lim \;((-1)^{\frac{1}{n}})^{n^{2}}=lim \; (-1)^{n}$
neexistuje.

Díky za rady van Thomas :-)
PS: Ještě by mě zajímalo, jak si to myslel s tím $e$ .

van Thomas · 08. 02. 2016 00:45

↑ Pritt:
Ještě brzdi :) $(-1)^\frac1n$ nemá pro $n>1$ moc smysl, rozhodně to nejde k $1$ . Zkusím tě víc navést na to, co jsem myslel já. Nech $b_n=n$ . K čemu pak půjde $a_n^{b_n}$ pro $a_n=1+\frac1n$ a k čemu pro $a_n=1-\frac1n$ ? A pak zkus ty dvě zkombinovat.

Pritt · 08. 02. 2016 00:59 — Editoval Pritt (08. 02. 2016 01:07)

$a_{n} = (1+\frac{(-1)^{n}}{n})$
$b_{n} = n$

Takže
$lim \; a_{n}^{b_{n}}=(1+\frac{(-1)^{n}}{n})^{n}$
Tedy $lim \; a_{k_{n}}^{b_{k_{n}}}=lim \; (1+\frac{-1}{2n+1})^{2n+1} = lim \; (1+\frac{1}{-(2n+1)})^{-(2n+1)})^{-1} = e^{-1}$

$lim \; a_{l_{n}}^{b_{l_{n}}}=lim \;(1+\frac{1}{2n})^{2n} = e$

Takhle už? :)

Matematické Fórum

#1 07. 02. 2016 22:00

Limitka

#2 07. 02. 2016 22:42 — Editoval Sherlock (07. 02. 2016 22:46)

Re: Limitka

#3 07. 02. 2016 22:48

Re: Limitka

#4 07. 02. 2016 22:50

Re: Limitka

#5 07. 02. 2016 22:58 — Editoval Pritt (07. 02. 2016 22:59)

Re: Limitka

#6 07. 02. 2016 23:11

Re: Limitka

#7 07. 02. 2016 23:14

Re: Limitka

#8 07. 02. 2016 23:14 — Editoval van Thomas (07. 02. 2016 23:23)

Re: Limitka

#9 07. 02. 2016 23:16

Re: Limitka

#10 07. 02. 2016 23:17

Re: Limitka

#11 07. 02. 2016 23:18 — Editoval van Thomas (07. 02. 2016 23:19)

Re: Limitka

#12 07. 02. 2016 23:19 — Editoval Pritt (07. 02. 2016 23:19)

Re: Limitka

#13 07. 02. 2016 23:20

Re: Limitka

#14 07. 02. 2016 23:21 — Editoval van Thomas (07. 02. 2016 23:22)

Re: Limitka

#15 07. 02. 2016 23:23

Re: Limitka

#16 07. 02. 2016 23:24

Re: Limitka

#17 07. 02. 2016 23:25 — Editoval van Thomas (07. 02. 2016 23:29)

Re: Limitka

#18 07. 02. 2016 23:32

Re: Limitka

#19 07. 02. 2016 23:34

Re: Limitka

#20 07. 02. 2016 23:39

Re: Limitka

#21 07. 02. 2016 23:41

Re: Limitka

#22 07. 02. 2016 23:41

Re: Limitka

#23 08. 02. 2016 00:35 — Editoval Pritt (08. 02. 2016 00:36)

Re: Limitka

#24 08. 02. 2016 00:45

Re: Limitka

#25 08. 02. 2016 00:59 — Editoval Pritt (08. 02. 2016 01:07)

Re: Limitka

Zápatí