Matematické Fórum

slender · 11. 02. 2016 12:47

Zdravím,
nějak se potýkám s tímto tvrzením:

$\text{Nechť řada }\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ nemá žádný součet (a to ani nekonečný). Pak }\sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_n\rvert=\infty\text{.}$

Mohl byste mi někdo prosím poradit, zda je tvrzení pravdivé či nikoli, popř. proč? Já se zasekl na tom, že si myslím, že suma nemůže nemít součet. Ale prý se pletu...

Jj · 11. 02. 2016 12:54

slender napsal(a):
... že si myslím, že suma nemůže nemít součet. ...

Dobrý den.

Třeba suma S = 1 - 1 + 1 - 1 + ....

slender · 11. 02. 2016 12:59

↑ Jj: Takováhla suma mě nějak nenapadla, díky...

Furt si ale nějak nevím rady s tím, jak ukázat, že $\sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_n\rvert=\infty$ (resp. jak zjistit, zda to vůbec platí pro všechny řady $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ , které nemají žádný součet).

Jj · 11. 02. 2016 13:40

↑ slender:

V tom já bahužel neporadím.

Rumburak

↑ slender:

Ahoj.

Uvědomme si dvě věci:

1. Řada $\sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_n\rvert$ má pro každou číselnou posloupnost $(a_n)$ součet (s hodnotou ať již konečnpou či nekonečnou) .
Suma posloupnost NEZÁPORNÝCH čísel (odobněi: NEKLADNÝCH čísel) nemůže nemít součet.

2. Je-li hodnota součtu $\sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_n\rvert$ konečná, pak existuje také součet $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ mající hodnotu rovněž konečnou
(viz téma o absolutní konvergenci některých řad).

Jestliže tedy číselná řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nemá součet, pak podle tvzení 2 řada $\sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_n\rvert$ nemůže mít součet konečné
hodnoty a podle věty 1 má tedy součet nekonečné hodnoty.

Dporučuji prostudovat si důkazy vět 1, 2.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2016 12:47

Absolutní konvergence řady bez součtu

#2 11. 02. 2016 12:54

Re: Absolutní konvergence řady bez součtu

slender napsal(a):

#3 11. 02. 2016 12:59

Re: Absolutní konvergence řady bez součtu

#4 11. 02. 2016 13:40

Re: Absolutní konvergence řady bez součtu

#5 12. 02. 2016 10:48 — Editoval Rumburak (12. 02. 2016 10:52)

Re: Absolutní konvergence řady bez součtu

Zápatí