Matematické Fórum

cetis · 12. 02. 2016 00:32

Zdravím,

prosím Vás, nevěděl by někdo poradit s vyšetřením konvergence této posloupnosti:

$a_n=\frac{10}{1}*\frac{11}{3}*...*\frac{n+9}{2n-1}$

Vím, že od n > 9 je ta posloupnost klesající, ale jak určím, že je omezená a jak vypočítám limitu?

Xellos · 12. 02. 2016 00:45

Vyplyva to z toho co si napisal. Zjavne je nezaporna. Ak je od nejakeho $n$ klesajuca, ale nezaporna, co to asi znamena? (Vetu "o dvoch policajtoch" ste urcite mali.)

cetis · 12. 02. 2016 09:36

$\frac{1}{n}*(\frac{10}{1}*\frac{11}{3}*...*\frac{n+9}{2n-1})\le \frac{10}{1}*\frac{11}{3}*...*\frac{n+9}{2n-1}\le n*(\frac{10}{1}*\frac{11}{3}*...*\frac{n+9}{2n-1})$

Můžu to použít tak to?

Rumburak

↑ cetis:

Ahoj.
Odhad, který jsi uvedl, je samozřejmě platný, ale hodnotu hledané imity jím nezískáš - je příliš hrubý.
Doporučuji zabývat se limitou činitele $\frac{n+9}{2n-1}$ .

cetis · 12. 02. 2016 10:28

↑ Rumburak:
Takže když vypočítám jenom limitu tohodle $\frac{n+9}{2n-1}$
tak to mám vyřešený?

Takže když udělám

$\lim_{n\to\infty } \frac{n+9}{2n-1} = \lim_{n\to\infty } \frac{\frac{1}{n}(1+9/n)}{\frac{1}{n}(2-1/n)} = 1/2$

tak to mám hotový?

jarrro · 12. 02. 2016 11:53

áno limita pôvodnej postupnosti teda bude nulová

cetis · 12. 02. 2016 12:04

Jak to, že je limita nula?

jarrro · 12. 02. 2016 12:06

veď si sám správne zistil, že
$\lim_{n\to\infty } \frac{n+9}{2n-1} = \lim_{n\to\infty } \frac{\frac{1}{n}(1+9/n)}{\frac{1}{n}(2-1/n)} = 1/2$
a polovica je menej ako jedna
aby súčin konvergoval k nenulovému číslu musí byť limita jeho členov rovná jednej (len nutne nie postačujúco)

cetis · 12. 02. 2016 12:08

↑ jarrro:
Jo chápu,

Děkuji moc

Rumburak

↑ cetis:

Zápis máš sice poněkud "překombinovaný", ale limita $\lim_{n\to\infty } \frac{n+9}{2n-1} = 1/2$ je spočtena správně.
Posloupnost $$\frac{n+9}{2n-1}$$ k ní konverguje shora, takže existuje přirozené číslo $N$ takové, že pro každé
přirozené $n > N$ bude

$\frac{1}{2} \le \frac{n+9}{2n-1} \le \frac{3}{4} < 1$ .

Můžeme pro taková $n$ psát

$0 < a_n=\frac{10}{1}*\frac{11}{3}*...*\frac{n+9}{2n-1} \le \frac{10}{1}*\frac{11}{3}*...*\frac{N+9}{2N-1} * $\frac{3}{4}$^{n-N}$ ,

kde $N$ je pevně zvoleno. Z tohoto odhadu už můžeme zjistit hledanou limitu posloupnosti $(a_n)$ .

Předpokládám, že jsi teprve v prvním semestru. :-)