Matematické Fórum

Freedy · 09. 03. 2016 22:51 — Editoval Freedy (09. 03. 2016 22:54)

↑↑ Marian:
Abych pravdu řekl, ať jsem dáte jakoukoliv limitu (až na nějaké pikantnosti), tak se určitě na nějakém fóru někdy řešila. Proto mi přijde trapné (nedůstojné), že radši hledáte, zda-li se nějaká podobná limita řešila někde jinde, namísto toho, abyste se ji sami pokusili vyřešit. Já řeším limity tak, že ji zkusím sám spočítat, né tak, že bych je vermo mocí hledal na internetu.
Toť můj názor, doufám že tím nikoho neurazím.

Marian · 10. 03. 2016 07:13 — Editoval Marian (11. 03. 2016 19:07)

↑ Freedy:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 10. 03. 2016 12:52

Pozdravujem ↑ Marian:,
Dakujem o tvoj zaujem o toto vlakno.
Zda sa mi, ze Tvoj odkaz je zaujimavy a moze poucit citatelov vlakna. A co je iste ze ak niekto da ine riesenie, to nebude kopia tvojho zaujimaveho vlakna.
Tak sa mi zda, ze skryt Tvoj odkaz by bola skoda.
Iste Freedy nam prida aj jeho riesenie, ako "autor" cvicenia.

Je trochu skoda, ze na takomto vlakne nevidime dost studentov, vsak to by mohlo idealne byt ich vlakno, kde by mohli dat ich skusenosti z ich skusok...

Dobre pokracovanie vo tvojej praci.

vanok · 11. 03. 2016 10:57

Cvicenie 8
Mala pomoc.
Mozte zacat pracovat na $(\sqrt{x^4+2x^3}-\sqrt{x^4+x^3})+(x^2-\sqrt{x^4+x^3})$ .

Pavel · 11. 03. 2016 12:35

Cvičení 8
Malá pomoc II

Limitu lze vyřešit na jednom řádku. Lze ukázat, že se nejedná o nic jiného než o definiční vztah druhé derivace funkce $\sqrt{1+x}$ v bodě $x=0$ .

vanok · 11. 03. 2016 20:53

Ahoj ↑ Pavel:, mas pravdu, ze viac moznosti na vysetrenie danej limity.
Napr. Pouzitie rozvojov v okoly nekonecna je dalsia metoda.

Ak nikdo neda riesenia v dohladnej dobe, tak navrhujem aby sme ty a ja dali po tyzdny nase riesenia. ( studentom to moze byt uzitocne)

Pevny week-end.

vanok · 21. 03. 2016 18:10 — Editoval vanok (21. 03. 2016 18:11)

Cvicenie 8
Ako som slubil, davam tu jedno elementarne riesenie tomto cvicenia.
Poznamka, predpokladam ze x>0 pre vsetky upravy.

Tu sa mozu pouzit konjugovane vyrazy kazdej zatvorky:v
$F(x)=(\sqrt{x^4+2x^3}-\sqrt{x^4+x^3})+(x^2-\sqrt{x^4+x^3})$
A dostaneme
$\sqrt{x^4+2x^3}-\sqrt{x^4+x^3}=\frac {x^3}{\sqrt {x^4+2x^3}+\sqrt{x^4+x^3}}$
$x^2-\sqrt{x^4+x^3}=-\frac{x^3}{x^2+\sqrt {x^4+x^3}}$

Cize
$F(x)= \frac x{\sqrt {1+\frac 2x}+\sqrt {1+\frac 1x}}-\frac x {1+\sqrt{1+\frac 1x}}$
Po vyjadreni na spolocneho menovatela $M= (\sqrt{1+\frac 2x}+\sqrt {1+\frac 1x})(1+\sqrt{1+\frac 1x})$
Dostaneme citatel $C= x(1-\sqrt {1+\frac 2x})$ ktoreho konjugovany vyraz je $C=-\frac 2{1+\sqrt {1+\frac 2x}}$
A na koniec konstatujeme, ze hladana limita je $-\frac 14$

Dufam, ze ini ucastnici odpovedia, na neukoncene riesenia cviceni, v duchu tohto vlakna, za co im vopred dakujem ( ako aj students, ktorim cakane riesenia mozu posluzit).

Pavel · 21. 03. 2016 21:15 — Editoval Pavel (21. 03. 2016 21:18)

$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^4+2x^3}+x^2-2\sqrt{x^4+x^3}\right) &=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac 2x}-2\sqrt{1+\frac 1x}+1}{\frac 1{x^2}} =\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{1+2h}-2\sqrt{1+h}+1}{h^2}\\[.5\baselineskip] &=\left.\left(\sqrt{1+x}\right)''_+\right|_{x=0} =\left.-\frac 1{4\sqrt{(1+x)^3}}\right|_{x=0}=-\frac 14\,.$

vanok · 22. 03. 2016 23:48 — Editoval vanok (23. 03. 2016 03:55)

Pridam hned dalsie cvicenie, ake mozme casto vidiet na skuskach.
( dufam ze aj kolega ↑ Pavel: prida jeho. Tiez podla duchu tohto vlakna, kolega Freedy by mal dat jeho riesenie problemu, ktory navrhol a dat dalsie cvicenie zo skusok. )
cvicenie 9
Najdite limitu postupnosti $a_n=\frac 1n \sqrt [n]{\prod_{k=1}^n{(n+k)}}$ v $+\infty$ .

Freedy · 24. 03. 2016 22:29 — Editoval Freedy (25. 03. 2016 13:17)

Ahoj,

řešení cvičení 9

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cvičení 10
Nechť $p_i$ značí i-té prvočíslo a $\varphi \in \mathbb{N}$ pevné.
Označme
$\pi (n)=\prod_{i=1}^{n}p_i$
$\psi (n)=\sum_{i=1}^{n}p_i$
Určete následující limitu:
$\lim_{n\to\infty }\frac{\pi (n)}{p_{n+1}^{\varphi }} \cdot \frac{\psi (n)}{p_{n+\varphi}^{\varphi}}$

vanok · 25. 03. 2016 19:33 — Editoval vanok (25. 03. 2016 23:39)

Ahoj ↑ Freedy:,
cvicenie 9,
Sa da riesit aj takto.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Vyhodaje, ze netreba ani poznat Stirling-ov vzorec.

Pripominam ti, ze cakane na tvoje riesenie cvicenia 7.

Freedy · 26. 03. 2016 17:30 — Editoval Freedy (26. 03. 2016 17:32)

↑ vanok:
nepřidám, kolega ↑ Marian: předvedl elegantní způsob výpočtu dané limity...
Tuto limitu jsem si částečně upravil, proto výpočet odkazem neočekávám...

vanok · 27. 03. 2016 10:17

↑ Freedy:,
Ahoj,
Ked si uz davas cvicenia zo skusok, tak nie je zbytocne dat aj tvoje studenstke riesenie. To by sa iste pacilo tvojim kolegom.
Vsak casto je viac moznosti na ich riesenie...
Tiez, pripominam, ze ak ma byt toto vlakno dynamicke je dobre aby ich autor, ak ich nikto neriesil,dal "maly navod" k ich rieseniu a po takom tyzdni ( bez reakcii) dal jeho autorske riesenie.
Na viac, moze byt uzitocne, po rieseni foristami, ze autor prida este doplnujuce riesenie, ktore moze byt uzitocne kolegom.

Freedy · 28. 03. 2016 13:41

Cvičení 10 HINT
Určete $\lim_{n\to\infty }\frac{\pi (n)}{p_{n+\varphi }^{2\varphi }}$
$\psi (n)$ toho na výsledné limitě moc nezmění

Freedy · 31. 03. 2016 07:41 — Editoval Freedy (31. 03. 2016 09:38)

Cvičení 10 HINT
V intervalu $I=(n,2n)$ se nachází alespoň 1 prvočíslo, $\forall n\in \mathbb{N}$ , $n > 1$

Freedy · 03. 04. 2016 23:03

Cvičení 10 ŘEŠENÍ

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cvičení 11
Nechť
$H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ a $\varphi \in \mathbb{R}$ , $\varphi >1$
Určete
$\lim_{n\to\infty }\frac{H_n}{\log_{\varphi }(n)}$

vanok · 05. 04. 2016 13:20 — Editoval vanok (05. 04. 2016 13:22)

Ahoj ↑ Freedy:,
Zaujimave krake cvicenie, ktore sa najde asi v kazdej prednaske z analyzy.( v prvom rocniku ?)
Osobne by som pridal okamzite po jeho vyrieseni (a. $H_n$ équivalentna z $\ln n$ v + nenonecne) dve otazky.
b. Ukazte, ze $\lim_{n\to +\infty} (H_n-\ln n)$ existuje ( Euler-ova konstatanta), oznacme ju $\gamma$
c.Ukazte, ze v okoli $+\infty$ mame $H_n=\ln n +\gamma +\frac 1{2n}-\frac 1{12n^2}+o(\frac1{n^2})$

Cize ist, vdaka dalsim otazkam na skuske tak daleko, ako je schopny dobry student...

vanok · 08. 04. 2016 19:28

Cvicenie 11 a doplnky.
Navod.
Co sa tyka otazky a. je mozne pouzit, ze
funkcia $t \mapsto \frac 1t$ pre t>0 je klesajuca a:
$\forall k \ge 1\forall t \in [k;k+1],\frac 1{k+1} \le \frac 1t \le \frac 1 k$
integraciou nerovnosti na $[k;k+1]$ nerovnosti ktorych sumacia da riesenie cvicenia a. ( ako aj podstatnu cast povodneho cvicenia a.)
Co sa tyka otazky b., moze sa pouzit najdena nerovnost v casti a.
Riesenie otazky c. sa moze zacat vysetrenim postupnosti $u_n=H_n-\ln n- \gamma$

vanok · 11. 04. 2016 18:56 — Editoval vanok (21. 04. 2016 22:36)

cvicenie 11, pokracovanie (otazka a.)
$\forall k \ge 1\forall t \in [k;k+1],\frac 1{k+1} \le \frac 1t \le \frac 1 k$
nam po integracii da
$\forall k \ge 1\forall t \in [k;k+1],\frac 1{k+1} \le \int_{k}^{k+1}\frac 1tdt=\ln (k+1)-\ln (k) \le \frac 1 k$
co po sumacii od 1 do n-1 da
$H_n-1 \le \ln n\le H_{n-1}$
a z toho
$\frac 1 n+ \ln n \le H_n \le 1+ \ln n$
A tak $\lim_{n\to+\infty }\frac{H_n}{\ln(n)}=1$
co znamena tiez $H_n \sim \ln n$
(odpoved na povodnu otazku cvicenia 11, od kolegu Freedy dostaneme okamzite vdaka vzorcu zmeny bazy logaritmu )

Na ostatne 2 otazky necham este trochu casu kolegom co maju chut napisat ich riesenie.

Freedy · 18. 04. 2016 02:17

škoda, že se nikdo tohoto tématu neúčastní.
Cvičení 11 ŘEŠENÍ

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cvičení 12 viz. ↑ vanok:

vanok · 21. 04. 2016 22:36 — Editoval vanok (22. 04. 2016 02:32)

Cvicenie 11,
Ano pekne si doplnil to riesenie.
Mozno by bolo zaujimave vediet ake otazky ti mohol polozit skusajuci po (pri) jeho rieseni.
Neviem na ktorych VS v cz, sk sa uci Stolz-ova veta alebo aspon verziu povodnej Cesàrov-over vety.
Mozte ma poucit.

Cvicenie 12
a. = aj cvicenie 11.
b.
Tu je mozne vyuzit riesenie otazky a.
Presnejsie mame pre $k \ge 1$ , ze $\frac 1 k - \int_k^ {k+1} \frac {dt}t \ge 0$
Ale ohranicenie z a. da aj $\int_k^ {k+1} \frac {dt}t \ge \frac 1{k+1}$
a preto $0\le \frac 1k -\int_k^ {k+1} \frac {dt}t \le \frac 1k -\frac 1{k+1}$
Tak rada vseobecneho clenu $\frac 1k-\int_k^ {k+1} \frac {dt}t$ konverguje (Lebo jej cleny su kladne a mensie ako vseobecny clen jednej konvergentnej rady.)
Co znamena, ze sucet postupnosti vseobecneho clenu $H_n-\ln n$ konverguje k $\gamma$ , co ukoncuje dokaz otazky b.

c. Iste to chce niekto skusit...

vanok · 15. 05. 2016 17:50

c. Navod
Clen z $\frac 1n$
Preto moze byt zaujimave vysetrit postupnost vseovecneho clenu $u_n=H_n-\ln n-\gamma$
( mozte nast ekvivalent postupnosti $( u_n)$ )

Podobne mozte vysetrit aj clen z $\frac 1{n^2}$ .

vanok · 24. 05. 2016 00:00

Cvicenie 13
Nech $(u_n)$ je jedna postupnost taka, ze $u_0 \in ]0;\frac{\pi}2]$ a $u_{n+1}=\sin (u_n)$ pre kazde prirodzene n.
a)Dokazte ze $\lim_{n \to +\infty } u_n=0$ a najdite ekvivalent $u_n$ v $+\infty$
b)Najdite dvojclenny asymptoticky rozvoj $u_n$ .

vanok · 12. 06. 2016 15:31

Cvicenie 13,
Myslienky na zaciatok riesenia.
Akoze tu ide o postupnost typu $u_{n+1}=f (u_n)$ , tak vieme, ze ak taka postupnost konverguje tak jej limita je pevny bod funkcie $\sin$
Tak je uzitocne dokazat, ze $(u_n)$ je monotonna a ohranicena

vanok · 27. 01. 2017 22:43

Cvicenie 13, cake na riesenie.
Cvicenie 14
Ako by ste ( co najucinnejie ) nasli $\lim_{n\to +\infty}n^{\frac 1n}$

Matematické Fórum

#26 09. 03. 2016 22:51 — Editoval Freedy (09. 03. 2016 22:54)

Re: Limitny maraton

#27 10. 03. 2016 07:13 — Editoval Marian (11. 03. 2016 19:07)

Re: Limitny maraton

#28 10. 03. 2016 12:52

Re: Limitny maraton

#29 11. 03. 2016 10:57

Re: Limitny maraton

#30 11. 03. 2016 12:35

Re: Limitny maraton

#31 11. 03. 2016 20:53

Re: Limitny maraton

#32 21. 03. 2016 18:10 — Editoval vanok (21. 03. 2016 18:11)

Re: Limitny maraton

#33 21. 03. 2016 21:15 — Editoval Pavel (21. 03. 2016 21:18)

Re: Limitny maraton

#34 22. 03. 2016 23:48 — Editoval vanok (23. 03. 2016 03:55)

Re: Limitny maraton

#35 24. 03. 2016 22:29 — Editoval Freedy (25. 03. 2016 13:17)

Re: Limitny maraton

#36 25. 03. 2016 19:33 — Editoval vanok (25. 03. 2016 23:39)

Re: Limitny maraton

#37 26. 03. 2016 17:30 — Editoval Freedy (26. 03. 2016 17:32)

Re: Limitny maraton

#38 27. 03. 2016 10:17

Re: Limitny maraton

#39 28. 03. 2016 13:41

Re: Limitny maraton

#40 31. 03. 2016 07:41 — Editoval Freedy (31. 03. 2016 09:38)

Re: Limitny maraton

#41 03. 04. 2016 23:03

Re: Limitny maraton

#42 05. 04. 2016 13:20 — Editoval vanok (05. 04. 2016 13:22)

Re: Limitny maraton

#43 08. 04. 2016 19:28

Re: Limitny maraton

#44 11. 04. 2016 18:56 — Editoval vanok (21. 04. 2016 22:36)

Re: Limitny maraton

#45 18. 04. 2016 02:17

Re: Limitny maraton

#46 21. 04. 2016 22:36 — Editoval vanok (22. 04. 2016 02:32)

Re: Limitny maraton

#47 15. 05. 2016 17:50

Re: Limitny maraton

#48 24. 05. 2016 00:00

Re: Limitny maraton

#49 12. 06. 2016 15:31

Re: Limitny maraton

#50 27. 01. 2017 22:43

Re: Limitny maraton

Zápatí