Matematické Fórum

stuart clark · 03. 10. 2019 16:23

problem (97)

$\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(\frac{1}{3+1}+\frac{2}{3^2+1}+\frac{2^2}{3^{2^{2}}+1}+\cdots +\frac{2^{n-1}}{3^{2^{n-1}}+1}\bigg)$

krakonoš · 04. 10. 2019 23:59

↑ stuart clark:
Hi Stuart Clark.
Please.
Is it realy $\sum_{k=0}^{\infty }\frac{2^{k}}{3^{2^{k}}+1}$ ?There has to be written $\sum_{k=0}^{\infty }\frac{2^{k}}{3^{2^{k}+1}}$ ?

laszky · 05. 10. 2019 03:27

↑ stuart clark:

Hi.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 05. 10. 2019 11:02

Problem (96).
Remark.
Look also https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis%27_integrals .

stuart clark · 17. 10. 2019 16:25

Thanks ↑ vanok:

vanok · 04. 11. 2019 22:21 — Editoval vanok (04. 11. 2019 22:22)

Problem (98)
a)
Nech je rada $\sum_{}^{}u_k$ konvergentna.
Co mozete povedat o postupnosti $\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k$ ?

b)
Mame reciprocnu propoziciu k a)?

krakonoš · 04. 11. 2019 22:39

↑ vanok:
Ahoj
Každá konvergentní řada musí mít omezené částečné součtyu1+u2+...+uk.
Takže i ta posloupnost, na kterou se ptáš, má tuto vlastnost.

vanok · 05. 11. 2019 08:45 — Editoval vanok (05. 11. 2019 08:47)

Ahoj ↑ krakonoš:,
Problem (98) a)
Presnejsie, mozes dokazat, ze za daneho predpokladu
$\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k$ konverguje k nule .
( kludne mozes pouzit Cesaro-vu vetu. )

krakonoš

↑ vanok:
Ahoj
To by ale vedlo k důkazu, že $k\cdot u_{k}$ jde k nule pro k jdoucí do nekonečna (výraz typu nula krát nekonečno).
Mě spíš napadlo vyjádření toho zlomku jako

$(u_{1}+....+u_{k})-\frac{u_{1}+(u_{1}+u_{2})+...(u_{1}+u_{2}+....+u_{k-1})}{k}$ (*)
Omezenost částečných součtů by pak vedlo k sevřené limitě.
$M-(1-\frac{1}{k})M$
$N-(1-\frac{1}{k})N$

vanok · 05. 11. 2019 15:41

Ahoj ↑ krakonoš:, tu ti napisem ten dokaz, ( na ktory myslim).
Najprv definujem $U_k=\sum_{i=0}^ku_i$ , a tak $u_k=U_k-U_{k-1}$ a tiez
$\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k= \frac {(U_1-U_0)+2(U_2-U_1)+...+k(U_k-U_{k-1})}k\\=U_k-\frac{U_0+U_1+...+U_{k-1}}k$ .
A vdaka Cesano-vej vete , ak $U_k$ konverguje k $U$ tak $\frac{U_0+U_1+...+U_{k-1}}k$ konverguje tiez k $U$ a tak pochopitelne aj $\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k$ konverguje k 0.

Ça sa tyka b)
Hint : ta neplati. ( staci najst nejaky proti priklad)

krakonoš · 05. 11. 2019 20:18

↑ vanok:
Ahoj
To je vlastně totéž vyjádření jako píšu já (*), já jedině pak využila omezenosti částečných součtů.

Co ale znamená ten pojem reciprocna propozice?

vanok · 05. 11. 2019 20:27 — Editoval vanok (05. 11. 2019 20:28)

↑ krakonoš:,
To ze znamena vysetrit, ci plati opacna implikacia .

krakonoš

↑ vanok:
$\sum_{2}^{\infty }\frac{1}{n\cdot ln n}$ diverguje podle integrálního kriteria,
podle Stolzovy věty bude však limita nulová, protože $n\cdot \frac{1}{n\cdot ln n}$ jde k nule pro n jdoucí do nekonečna.
Řada je definovaná až pro n >=2,pro n=1 stačí člen definovat jako nulu.
Že to obráceně neplatí, to mě nepřekvapuje.Ta limita může být nulová díky omezenosti čitatele shora i zdola konstantou, přitom součet řady un vůbec vlastně ani nemusí existovat z důvodu oscilace.Ale nenapadá mě zrovna příklad na to.

vanok · 06. 11. 2019 12:14

Ahoj ↑ krakonoš:,
Mozes skusit radu $u_k=\frac 1{p \ln (p+1)}$ ak $k=p^2$ a $u_k=0$ , ak k nie je formy $p^2$ .

krakonoš · 06. 11. 2019 17:45

↑ vanok:
Myslel jsi
$\sum_{k=1}^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{k}ln(1+\sqrt{k})}}\ge \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k}$ , kde sčítáme pouze pro k taková, že $\sqrt{k} \in N$ ?

vanok · 06. 11. 2019 17:53 — Editoval vanok (06. 11. 2019 17:57)

Vsak ked pocitas tie nenulove prvky ide o $\sum_{k=1}^{\infty}u_k=\sum_{p=1}^{\infty}\frac 1{p \ln (p+1)}$
a tak to jasne diverguje.
....

krakonoš · 06. 11. 2019 18:16

↑ vanok:
Ano, vždyť to uvádím, je to větší než půlka harmonické řady.
Nebo co jsi chtěl ještě říct ještě tímto příkladem, nebo jenom uvést příklad divergence ,podobně jako já?

vanok · 06. 11. 2019 18:58 — Editoval vanok (11. 11. 2019 20:58)

↑ krakonoš:,
Ano
A ked ukazes, ze $\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k$ aj tak konverguje k nule, mas hladany ( mozny) proti-priklad.

stuart clark · 11. 11. 2019 15:05

Problem (99) Evaluation of $\lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{r=1}\bigg(\frac{r}{n^2}\bigg)^{\frac{r}{n^2}+1}$

krakonoš

↑ vanok:
Problem 99
Jestli jsem se někde nesekla
$L=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n^{2}}\sum_{r=1}^{n}(\frac{r}{n^{2}})^{\frac{r}{n^{2}}}\cdot r$
$f(x)=(\frac{x}{n^{2}})^{\frac{x}{n^{2}}}$
$f'(x)<0 for x<\frac{n^{2}}{e}$
x=1,2,...n
$(\frac{1}{n^{2}})^{\frac{1}{n^{2}}}>(\frac{2}{n^{2}})^{\frac{2}{n^{2}}}>...>(\frac{n}{n^{2}})^{\frac{n}{n^{2}}}$ for n>5 už při malém n , nechce se mi to počítat
$\lim_{n\to\infty }\frac{n(n+1)}{2n^{2}}\cdot( \frac{1}{n^{2}})^{\frac{1}{n^{2}}}=1/2$
$\lim_{n\to\infty }\frac{n(n+1)}{2n^{2}}\cdot( \frac{n}{n^{2}})^{\frac{n}{n^{2}}}=1/2$
$L=1/2$

vanok · 21. 11. 2019 10:50 — Editoval vanok (21. 11. 2019 12:05)

problem (100)

Vysetrite konvergetnost postupnosti $(u_n)$ a $(v_n)$ ,
ked $u_n=\frac{d(1)+...+d(n)}n$ a $v_n= \frac{d(1)+...+d(n)}{n\ln(n)}$ , ak $d(i)$ je pocet delitelov nenuloveho prirodzeneho cisla $i$ .

check_drummer · 22. 11. 2019 17:03

Ahoj, mám takové šťouravé téma (možná to nepatří sem): Myslíte si, že je v českých krajích upřednostňována matematická analýza před algebrou? Alespoň tak se mi to trošku jeví - nejen podle délky tohoto vlákna. :-) A přitom si myslím, že algebra je neméně důležitá.

vanok · 22. 11. 2019 18:28

Ahoj ↑ check_drummer:,
To je iste zaujimava otazka. Mozno by sme mohli o tom diskutovat v didaktickom vlakne.

Matematické Fórum

#526 03. 10. 2019 16:23

Re: Limitny maraton

#527 04. 10. 2019 23:59

Re: Limitny maraton

#528 05. 10. 2019 03:27

Re: Limitny maraton

#529 05. 10. 2019 11:02

Re: Limitny maraton

#530 17. 10. 2019 16:25

Re: Limitny maraton

#531 04. 11. 2019 22:21 — Editoval vanok (04. 11. 2019 22:22)

Re: Limitny maraton

#532 04. 11. 2019 22:39

Re: Limitny maraton

#533 05. 11. 2019 08:45 — Editoval vanok (05. 11. 2019 08:47)

Re: Limitny maraton

#534 05. 11. 2019 12:50 — Editoval krakonoš (05. 11. 2019 20:19)

Re: Limitny maraton

#535 05. 11. 2019 15:41

Re: Limitny maraton

#536 05. 11. 2019 20:18

Re: Limitny maraton

#537 05. 11. 2019 20:27 — Editoval vanok (05. 11. 2019 20:28)

Re: Limitny maraton

#538 05. 11. 2019 22:30 — Editoval krakonoš (05. 11. 2019 22:35)

Re: Limitny maraton

#539 06. 11. 2019 12:14

Re: Limitny maraton

#540 06. 11. 2019 17:14 — Editoval krakonoš (06. 11. 2019 17:17) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#541 06. 11. 2019 17:45

Re: Limitny maraton

#542 06. 11. 2019 17:53 — Editoval vanok (06. 11. 2019 17:57)

Re: Limitny maraton

#543 06. 11. 2019 18:16

Re: Limitny maraton

#544 06. 11. 2019 18:58 — Editoval vanok (11. 11. 2019 20:58)

Re: Limitny maraton

#545 11. 11. 2019 15:05

Re: Limitny maraton

#546 18. 11. 2019 15:05 — Editoval krakonoš (18. 11. 2019 15:07) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#547 18. 11. 2019 22:25 — Editoval krakonoš (18. 11. 2019 23:28)

Re: Limitny maraton

#548 21. 11. 2019 10:50 — Editoval vanok (21. 11. 2019 12:05)

Re: Limitny maraton

#549 22. 11. 2019 17:03

Re: Limitny maraton

#550 22. 11. 2019 18:28

Re: Limitny maraton

Zápatí