Matematické Fórum

stuart clark

Problem $(36)$ Finding $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+1}\cdot \tan\bigg(\frac{\pi n+2}{2n+2}\bigg).$

kerajs · 01. 10. 2018 12:07

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+1}\cdot \tan\bigg(\frac{\pi n+2}{2n+2}\bigg)=[0\cdot (\pm \infty )]=\\ \stackrel{[H]}{=}\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{\cos ^2\frac{\pi n+2}{2n+2}}\cdot \frac{2(\pi-2)}{(2n+2)^2}}{1}= \lim_{n\to\infty }\frac{1}{\sin ^2\frac{\pi -2}{2n+2}}\cdot \frac{2(\pi-2)}{(2n+2)^2}=\\ =\lim_{n\to\infty }\frac{(\frac{\pi -2}{2n+2})^2}{\sin ^2\frac{\pi -2}{2n+2}}\cdot \frac{2}{\pi-2}=\frac{2}{\pi-2}$

krakonoš

Or without L Hospital
You can take tan argument as sin argument/cos argument. you can get limit
1/((cos (pi plus 2/n /2 plus 2/n)).(n plus 1)). You can use cos(argument) is the same as sin(pi/2-argument).Finaly sin(argument) replace argument. You will get the same result.

vanok · 02. 10. 2018 20:58 — Editoval vanok (07. 10. 2018 19:07)

Problèmes (37).
Nech pre $t\ge 0; f(t)= \frac t {\sqrt {1+t}}$ .
Vysetrite realnu postupnost $(S_n)$ taku, ze $S_n= \sum_{k=1}^{n}f(\frac k{n^2})$ .

Hint .
V okoli $0$ , mame $|f(t)-t|\le\frac {t^2}2$

vanok · 07. 10. 2018 17:03

Problem (37).
Ako prve ukazte, ze $|f(t)-t|\le\frac {t^2}2$ .
Mozte vyuzit, ze $f(t)-t= t. \frac{1-\sqrt {1+t}} {\sqrt {1+t}}=-\frac{t^2}{(1+\sqrt {1+t})\sqrt{1+t}}$
Pokracujte.

vanok · 08. 10. 2018 14:21 — Editoval vanok (08. 10. 2018 14:35)

Problem (37)
Rychle dokoncenie dokazu.
Zaroven z $S_n= \sum_{k=1}^{n}f(\frac k{n^2})$ pouzijeme aj $S_n^*=\sum_{k=1}^{n}\frac k{n^2}$ .

A konstatujeme, ze pre $\Delta_n=S_n-S_n^*$ mame $|\Delta_n|=|S_n-S_n^*| \leq \sum_{k=1}^{n}|f(\frac k{n^2})-\frac k{n^2}|\leq \frac 12 \sum_{k=1}^{n}\frac {k^2}{n^4 }$ ( posledna nerovnost plati vdaka navodu z textu cvicenia, ktoreho dokaz je naznaceny v predoslom prispevku ).

Najprv vidime, ze $\sum_{k=1}^{n}k^2\le \sum_{k=1}^{n}n^2=n^3$ a preto $|\Delta | \le \frac 1{2n}$ ; a tak $\lim_{n\to \infty}\Delta_n =0$ .
Akoze tiez $\sum_{k=1}^{n}k=\frac {n(n+1)}2$ da $S_n^*=\frac {n+1}{2n}$
A tak $\lim_{n\to +\infty}S_n^*=\frac 12$ a na koniec tiez $\lim_{n\to +\infty}S_n=\frac 12$

stuart clark

Problem (38) $\lim_{n\rightarrow \infty}n^2\cdot \sum^{n}_{k=1}\frac{4(2k-1)^4+1}{4(2k)^4+1}$

krakonoš · 11. 10. 2018 10:58

[re]Hi Stuart! There is my hint.
You need any paper and any pencil .Look at the limit sum.

vanok · 29. 10. 2018 23:48

Z casu na cas tu dam aj problemy, ktore su pristupne vsetkym foristom ( ale mozu byt uzitocne na skuskach).

Problem ( 39).
Dokazte, ze $\lim_{n\to +\infty}\frac {\sum_{k=1}^{n}k!}{n!}=1$

Pavel · 30. 10. 2018 14:13

↑ stuart clark:

The limit is $+\infty$ obviously, the series of positive terms is divergent for $n\to\infty$ . However, I think that you have mistyped. It should be

$\lim_{n\rightarrow \infty}n^2\cdot \prod^{n}_{k=1}\frac{4(2k-1)^4+1}{4(2k)^4+1}$

Solution:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 30. 10. 2018 14:16

↑ vanok:

Stačí jednoduše použít Stolzovu větu:

$\lim_{n\to +\infty}\frac {\sum_{k=1}^{n}k!}{n!} &=\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+1)!}{(n+1)!-n!} =\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+1)!}{n\cdot n!} =\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{n}=1.$

vanok · 01. 11. 2018 19:20

Servus ↑ Pavel:, (problem 39)
Alebo este, staci vyuzit, ze
$n! < \sum_{k=1}^{n}k! < (n-2)(n-2)!+(n-1)!+n! < 2(n-1)!+n!$ .

vanok · 02. 11. 2018 11:10 — Editoval vanok (02. 11. 2018 11:10)

Dalsi problem.
Problem (40).
Dokazte, ze postupnost $(u_n)$ , kde $u_n= \sum_{k=1}^{n}\frac 1{n+k}$ je konvergentna.

Marian · 02. 11. 2018 12:58

↑ vanok: (Problem 40)

Výpočtem diference dostáváme:

$\Delta (u_n) &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\\[2mm] &=\sum_{k=2}^{n+2}\frac{1}{n+k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\\[2mm] &=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}\\[2mm] &=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}>0.$

Daná posloupnost je tedy ostře rostoucí.

Dále se dokáže její omezenost (kvůli kladnosti postačí shora), např. takto:

$u_n &=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\\[2mm] &<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\\ &=1.$

Daná posloupnost je tedy konvergentní.

(Výpočet její limity je však jiný úkol; předpokládám, že bude následovat).

vanok · 02. 11. 2018 20:34

Pozdravujem ↑ Marian:,
(problem 40)
Ta limita je, zda sa mi, ln 2.
Kto to chce overit?

krakonoš

↑ vanok:Ahoj.
Prosim te, jak jsi prisel na ln2?Mne vychazi odhad mezi 1/2 a 1.Ten ln2 by ciselne odpovidal,ale na druhou stranu tento soucet by mela mit"harmonicka rada se stridavymi znamenky".

Marian · 03. 11. 2018 13:57

↑ krakonoš:

Návod:

K tomu stačí vhodné odhady (shora i zdola) harmonického čísla prvního řádu H_m=1+1/2+...+1/m. Poté je nutno si uvědomit, že studovaný člen, který limitujeme, lze psát jako

u_n=H_(2n)-H_n,

odkud se dostane výsledek avizovaný kolegou.

krakonoš

↑ Marian:Dekuji moc za navod.
Rozdil tech dvou rad ,jak pises,zrejme souvisi s Euler -Mascheroniovou konstantou.Jestli chapu symboliku ,tak jde o harmonicke rady s castecnym souctem déky 2n a n.Puvodne jsem si to nejak blbe predstavila.

vanok · 03. 11. 2018 15:41 — Editoval vanok (06. 11. 2018 01:45)

Pozdravujem ↑ Marian:,
Alebo este mozme pouzit aj Riemann-ove sumy.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ahoj ↑ krakonoš:,
Ako vidis, napisal som uplne riesenie ako nast pytanu limitu.
Mozes nam napisat aj ty tvoje podrobne riedenie?

stuart clark · 05. 11. 2018 02:26

Problem(41) $\sqrt{n}\cdot \int^{1}_{0}(1+x^2)^{-n}dx.$

vanok · 05. 11. 2018 18:01 — Editoval vanok (05. 11. 2018 18:02)

Hi ↑ stuart clark:,
Hint.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 05. 11. 2018 21:48 — Editoval vanok (05. 11. 2018 21:49)

Problem (42).

Vysetrite postupnost $(u_n)$ taku, ze $u_0>-\frac 32$ a $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$

laszky · 05. 11. 2018 22:38

↑ vanok:

Ahoj, rekl bych, ze reseni plyne z odhadu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

krakonoš

↑ laszky:Ahoj.
Tento priklad je nejak divne zadan
Kdyz budu uvazovat,ze uo je nula,tak to roste,kdyz u0 je 6 ,tak to klesa.

Tam musi byt zadano presne u0. Vse zalezi na u0,u1.Takze,jrstli je monotonni,vysetrit nelze.Jedine lze urcit konvergentnost.
Aspon z toho,co uvadis,mi pripada,ze limita je 3.

vanok · 06. 11. 2018 01:41 — Editoval vanok (06. 11. 2018 13:19)

Ahoj ↑ krakonoš:,
Problem (42) nie je divne zadany, skutocne nie! Vsak aj kolega ↑ laszky: (pozdravujem) nam napisal nerovnost, ktora vedie k limite postupnosti.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

No si mysliet, ze je treba dat hodnotu $u_0$ nie je pravda. Vsak som napisal vysetrite postupnost a to znamena, ze riesenie vyzaduje uvazovat vsetki mozne situacie.

Pochopitelne mozme napisat riesenie aj podrobnejsie, ktore tu naznacim.

Napr. mozme najprv ukazat, ze funkcia $f:x\mapsto \sqrt{2x+3}$ je definovana, spojita,rastuca na $[-\frac 32;+\infty]$ . Mozna limita je dana vdaka $l=\sqrt{2l+3}$ ; $l\ge 0$ ....co da $l=3$ .
A tiez je jasne vdaka tomu, ze f je rastuca, ze aj dana postupnost je monotonna.

Tak je prirodzene uvazovat tri pripady:
a) $-\frac 32 <u_0<3$
b) $u_0=3$
c) $u_0>3$

Tak teraz je mozne takto ukoncit tento podrobnejsi dokaz, co je jednoduche. ( ci nie? Tak v takom pripade ho mozem pridat).

Matematické Fórum

#126 01. 10. 2018 03:18 — Editoval stuart clark (01. 10. 2018 03:19)

Re: Limitny maraton

#127 01. 10. 2018 12:07

Re: Limitny maraton

#128 01. 10. 2018 15:45 — Editoval krakonoš (01. 10. 2018 16:42)

Re: Limitny maraton

#129 02. 10. 2018 20:58 — Editoval vanok (07. 10. 2018 19:07)

Re: Limitny maraton

#130 07. 10. 2018 17:03

Re: Limitny maraton

#131 08. 10. 2018 14:21 — Editoval vanok (08. 10. 2018 14:35)

Re: Limitny maraton

#132 09. 10. 2018 09:48 — Editoval stuart clark (09. 10. 2018 09:48)

Re: Limitny maraton

#133 11. 10. 2018 10:58

Re: Limitny maraton

#134 29. 10. 2018 23:48

Re: Limitny maraton

#135 30. 10. 2018 14:13

Re: Limitny maraton

#136 30. 10. 2018 14:16

Re: Limitny maraton

#137 01. 11. 2018 19:20

Re: Limitny maraton

#138 02. 11. 2018 11:10 — Editoval vanok (02. 11. 2018 11:10)

Re: Limitny maraton

#139 02. 11. 2018 12:58

Re: Limitny maraton

#140 02. 11. 2018 20:34

Re: Limitny maraton

#141 03. 11. 2018 12:05 — Editoval krakonoš (03. 11. 2018 13:05)

Re: Limitny maraton

#142 03. 11. 2018 13:57

Re: Limitny maraton

#143 03. 11. 2018 14:28 — Editoval krakonoš (03. 11. 2018 23:15)

Re: Limitny maraton

#144 03. 11. 2018 15:41 — Editoval vanok (06. 11. 2018 01:45)

Re: Limitny maraton

#145 05. 11. 2018 02:26

Re: Limitny maraton

#146 05. 11. 2018 18:01 — Editoval vanok (05. 11. 2018 18:02)

Re: Limitny maraton

#147 05. 11. 2018 21:48 — Editoval vanok (05. 11. 2018 21:49)

Re: Limitny maraton

#148 05. 11. 2018 22:38

Re: Limitny maraton

#149 05. 11. 2018 23:41 — Editoval krakonoš (06. 11. 2018 00:37)

Re: Limitny maraton

#150 06. 11. 2018 01:41 — Editoval vanok (06. 11. 2018 13:19)

Re: Limitny maraton

Zápatí