Matematické Fórum

Marian · 27. 11. 2018 12:20 — Editoval Marian (27. 11. 2018 12:20)

↑↑ vanok:

Jak se má vyšetřit tato funkce? To, ře limita neexistuje, můžeme vidět ihned z přepisu

$\mathrm e^{x+\sin (x)}-\mathrm e^{x} =\mathrm e^{x}\cdot\left (\mathrm e^{\sin (x)}-1\right ).$

Odtud je vidět, že limita neexistuje (graficky: explosivní oscilace).

vanok · 27. 11. 2018 13:59 — Editoval vanok (27. 11. 2018 13:59)

Ahoj ↑ Marian:,
To je dobra cesta.
A konkretne je (napr.) zaujimave kuknut na $\pi/2+2k\pi$ a tiez $-\pi/2+2k\pi$ co da 2 vybrane postupnosti ....
Necham citatelom to vyuzit.

stuart clark · 03. 12. 2018 15:06

For a given sequence $a_{1},a_{2},\cdots \cdots ,a_{n}.$ If $\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n} = a.$ Then $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\ln(n)}\sum^{n}_{k=1}\frac{a_{k}}{k}.$ is

vanok · 03. 12. 2018 20:04 — Editoval vanok (03. 12. 2018 23:12)

Hi ↑ stuart clark:,
Problem (46)
Look here
https://math.stackexchange.com/question … ca/3018729

stuart clark · 04. 12. 2018 10:09

Thanks ↑ vanok:. can you please explain me how i solve with stolz Theorem.

vanok · 04. 12. 2018 22:42

Hi ↑ stuart clark:,
Here you will find theorem of Stolz Cesàro https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2% … ro_theorem .
The fixture taking as
$a_n$ -------> $\sum_{k=1}^{n} \frac {a_k}k$

$b_n$ -------> $ln(n)$

and $\frac {a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$ corresponding to $\frac{\frac {a_{n+1}}{n+1}}{ln(n+1)-ln(n)}=\frac {a_n}{(n+1) ln(1+\frac 1n)}$

The rest is simple .

laszky · 04. 12. 2018 23:22

↑ vanok:

So, it is a discrete analog of the l'Hospital rule ;-)

vanok · 05. 12. 2018 04:38

👍↑ laszky:

vanok · 06. 12. 2018 06:03 — Editoval vanok (06. 12. 2018 22:41)

HHi ↑ laszky:
You will find here http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 90#p564890 in #4 a very instructive reading.

stuart clark · 08. 12. 2018 15:30

Thanks ↑ vanok:.

stuart clark · 09. 12. 2018 13:22

vanok napsal(a):
Hi ↑↑ stuart clark:,
Hint.
Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!
Skrytý text:

You can use $\int^{1}_{0}(1+x^2)^{-n}dx=\int_{0}^{\frac {\pi }4}\cos^{2n-2}(u)du$ with substitution $x=\tan u$

@vanok can you please explain me how can i go further, Thanks

vanok · 10. 12. 2018 11:25 — Editoval vanok (13. 12. 2018 08:25)

Hi ↑ stuart clark:
Informal rapide answer ( only substitution)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Completely solved (an) example

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 14. 12. 2018 07:03 — Editoval vanok (14. 12. 2018 07:04)

Pozdravujem,
Tu najdete problem(47)
Urcite $\lim_{n\to +\infty}$\frac{(2n)!}{n!n^n}$^{\frac1n}$ .

krakonoš · 14. 12. 2018 08:37

↑ vanok:
Ahoj.
S vyuzitim Stirlingova vzorce mi vyslo 4/e,jestli jsem se nekfe nespletla

vanok · 14. 12. 2018 12:48

Ahoj ↑ krakonoš:,
Odpoved je dobra.

No pacilo by sa mi vidiet riesenie, co pouzije Riemannove sumy.
Vies ako na to?

krakonoš

↑ vanok:
Asi to zlogaritmovat,castecne pokratit faktorialy a pak tam vzniknou souciny se n cleny,vyuzit ze logaritmus soucinu je soucet logaritmu,.....A integral z logaritmu od 1 do 2 spocist pres per partes,nakonec bude tam vznikne exp(vysledek integralu) t.j. vlastne odlogaritmovani.Zkousela jsem to a vyslo to stejne.

vanok · 14. 12. 2018 13:41

↑ krakonoš:,
No myslienka je dobra, po ln dojdi k Riemannovej sume, ak ta to bavi skus to podrobne napisat ( to vies, ze ja nenechavam nikdy problemy bez riesenia, len aby som pomohol foristom).

krakonoš · 14. 12. 2018 13:45

↑ vanok:
Mam jen mobil,kde neni ani plus. Vysledek integrace je 2.log(2)-1.Pri umocneni exponenciely mame exp(log4)/e.To je tentyz vysledek

vanok · 15. 12. 2018 12:17 — Editoval vanok (15. 12. 2018 17:08)

Cau ↑ krakonoš:,

Tak pre kontrolu, tu dam to jednoduche riesenie, o ktorom som vyssie pisal. (↑ krakonoš: aby sa to lepsie citalo.)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

krakonoš

↑ vanok:
Ahoj,
dívala jsem se na tvuj postup,ktery se sice trochu lisi od meho popsaneho,v zasade vsak vede ke stejnemu vysledku.Nejak se mi vsak nezdaji upravove kroky v celem druhem dlouhem radku.Aby platil posledni upravovy krok pred integraci $\frac 1n $ \sum_{k=1}^{2n}\ln (\frac kn) $=\frac 1n $ \sum_{I=1}^{n}\ln (1+\frac in) $$ ,
musela by predposledni suma bezet od n+1 nikoli od 1.Aspon si to myslim.
To byl i duvod,proc jsem ja radeji presla k upravam vyrazu jeste pred logaritmovanim,zdaly se mi pak jednodussi upravove kroky.

vanok · 15. 12. 2018 16:07 — Editoval vanok (15. 12. 2018 17:13)

↑ krakonoš:,
Nejde o nic ine ako o substituciu i=k-n.
( Ak pochybujes, rozpis su vsetki cleny v kazdej $\sum$ )
Inac opravil som maly preklep kde ma byt i =1, a nie I=1 a tiez som pridal jedno n, ako si to poznamenala ( no moj opravovac pravopisu automaticky robi opravy a niekedy to prehliadnem)
Poznamka: tu som pouzil Riemannove sumy ( normalne sa to vzdy ucilo v prvom rocniku VS, no mozno teraz na Sk, ci v Cz sa o tom uz vela nehovori .... ale podla mna ide o uzitocnu vec a tak ci tak to treba vediet .... a aj pouzit).

Skus pisat v LaTexe ja to robim aj na telefone bez velkych problemov.

krakonoš · 15. 12. 2018 19:11

↑ vanok:
Já spíš vidím řešení odečíst ty dvě sumy, budu mít jen n členů a pak vzít n.log(n) a těchto n logaritmů přiřadit postupně do jmenovatelů členům.A dostanu rovnou předposlední úpravový krok.A tak dostanuposledni úpravový krok.

vanok · 15. 12. 2018 19:27 — Editoval vanok (15. 12. 2018 19:47)

↑ krakonoš:, no akoze tam je n krat ln n, tak som od kazdeho od n clenov odpocital ln n.
Ale to je otazka organizacie vypoctov a tak je viacej ciest k rieeseniu.

vanok · 16. 12. 2018 09:59 — Editoval vanok (16. 12. 2018 10:04)

Pozdravujem,
Tu najdete problem (48)
Bez pouzitia Strirlingoveho vzorca vyrieste:

Polozme $u_n=\sum_{k=1}^{n}$\ln (1+\frac k{n^2})\ln (1+\frac kn)$$ , kde n je prirodzene cislo $n>0$ .
Najdite $\lim_{n\to +\infty} u_n$ ( ak existuje).

krakonoš · 16. 12. 2018 12:02

↑ vanok:
Ahoj.Neni to nahodou 1/3?

Matematické Fórum

#176 27. 11. 2018 12:20 — Editoval Marian (27. 11. 2018 12:20)

Re: Limitny maraton

#177 27. 11. 2018 13:59 — Editoval vanok (27. 11. 2018 13:59)

Re: Limitny maraton

#178 03. 12. 2018 15:06

Re: Limitny maraton

#179 03. 12. 2018 20:04 — Editoval vanok (03. 12. 2018 23:12)

Re: Limitny maraton

#180 04. 12. 2018 10:09

Re: Limitny maraton

#181 04. 12. 2018 22:42

Re: Limitny maraton

#182 04. 12. 2018 23:22

Re: Limitny maraton

#183 05. 12. 2018 04:38

Re: Limitny maraton

#184 06. 12. 2018 06:03 — Editoval vanok (06. 12. 2018 22:41)

Re: Limitny maraton

#185 08. 12. 2018 15:30

Re: Limitny maraton

#186 09. 12. 2018 13:22

Re: Limitny maraton

vanok napsal(a):

#187 10. 12. 2018 11:25 — Editoval vanok (13. 12. 2018 08:25)

Re: Limitny maraton

#188 14. 12. 2018 07:03 — Editoval vanok (14. 12. 2018 07:04)

Re: Limitny maraton

#189 14. 12. 2018 08:37

Re: Limitny maraton

#190 14. 12. 2018 12:48

Re: Limitny maraton

#191 14. 12. 2018 13:04 — Editoval krakonoš (14. 12. 2018 13:42)

Re: Limitny maraton

#192 14. 12. 2018 13:41

Re: Limitny maraton

#193 14. 12. 2018 13:45

Re: Limitny maraton

#194 15. 12. 2018 12:17 — Editoval vanok (15. 12. 2018 17:08)

Re: Limitny maraton

#195 15. 12. 2018 14:57 — Editoval krakonoš (15. 12. 2018 15:06)

Re: Limitny maraton

#196 15. 12. 2018 16:07 — Editoval vanok (15. 12. 2018 17:13)

Re: Limitny maraton

#197 15. 12. 2018 19:11

Re: Limitny maraton

#198 15. 12. 2018 19:27 — Editoval vanok (15. 12. 2018 19:47)

Re: Limitny maraton

#199 16. 12. 2018 09:59 — Editoval vanok (16. 12. 2018 10:04)

Re: Limitny maraton

#200 16. 12. 2018 12:02

Re: Limitny maraton

Zápatí