Matematické Fórum

byk7 · 17. 02. 2016 15:35

Zdravím,

jaký význam má to "dx" u neurčitého integrálu?
$\int f(x)\,\d x$
U určitého mi to smysl dává, ale u neurčitého jsem to vždy vnímal pouze jako jakousi zarážku, že tady končí integrand. To ale asi není správné (např. když se musí přepočítat u substituční metody).

Bati · 17. 02. 2016 17:19

Ahoj ↑ byk7:,
význam samo o sobě to nemá žádný, je to jen způsob, jak napsat primitivní funkci k f. Výhodu to má v tom, že můžeš vyznačit integrační proměnnou a taky to připomíná, že se s tím dá pracovat podobně jako s určitým integrálem (linearita).

vanok · 17. 02. 2016 21:12 — Editoval vanok (18. 02. 2016 02:16)

Ahoj ↑ byk7:,
Tu http://www.felderbooks.com/papers/dx.html
mas je den pohlad na tu otazku. Je to blizsie k fyzikom.
Inac pozri aj na historiu matematiky a na Leibniz-ove prace.

check_drummer · 17. 02. 2016 23:46

↑ byk7:
Ahoj, u intuitivních úvah to pomáhá, u formálních to mate. :-)

Pavel · 18. 02. 2016 00:15 — Editoval Pavel (18. 02. 2016 00:15)

↑ Bati:

Pokud by "dx" nemělo žádný význam, pak by substituce v integrálech byla triviální záležitost. "dx" má historický význam, když se pan Leibniz zabýval nekonečně malými veličinami a ty označoval "dx", "dy" apod.

Nabízím dva své náhledy na význam objektu "dx" za integrálním znakem.

I. Definujme operátor diferenciálu funkce f jako

$\mathrm d: f\mapsto f'\cdot\mathrm dx$

Definujme operátor $\int$ jako inverzní operátor k diferenciálu. Jsou-li $f$ a $F$ dvě funkce takové, že $F'=f$ , pak $F$ je primitivní k $f$ a platí

$\mathrm dF(x)&=F'(x)\,\mathrm dx\\ \int\mathrm dF(x)&=\int F'(x)\,\mathrm dx\\ F(x)&=\int f(x)\,\mathrm dx$

Tj. primitivní funkce $F$ může být vyjádřena zápisem vpravo. Z toho by tedy vyplývalo, pokud jsou mé úvahy správné, že označení pro neurčitý integrál není jen $\int$ , ale $\int\quad\mathrm dx$ .

II. Vojtěch Jarník ve svém Integrálním počtu I definuje nejdříve Riemannův určitý integrál $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$ . Dále zavádí pojem primitivní funkce pomocí vztahu $F'=f$ . Ukazuje, že funkce $G(x):=\int_a^x f(t)\,\mathrm dt$ je jednou z primitivních funkcí k $f(x)$ . A až následně definuje neurčitý integrál jako tuto primitivní funkci a zjednodušeně pro něj zavádí zápis $\int f(x)\,\mathrm dx$ . Takže význam "dx" je převzat z teorie určitého integrálu.

check_drummer · 18. 02. 2016 18:22

↑ Pavel:
Ahoj, dx má "fromálně" význam jen ten, že označuje jméno proměnné (x). Jinak bychom stejnš tak mohli zavést např. značení F(.,x), apod.
Používané značení má však historické jádro, jak píšeš.

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2016 15:35

Diferenciál u neurčitého integrálu

#2 17. 02. 2016 17:19

Re: Diferenciál u neurčitého integrálu

#3 17. 02. 2016 21:12 — Editoval vanok (18. 02. 2016 02:16)

Re: Diferenciál u neurčitého integrálu

#4 17. 02. 2016 23:46

Re: Diferenciál u neurčitého integrálu

#5 18. 02. 2016 00:15 — Editoval Pavel (18. 02. 2016 00:15)

Re: Diferenciál u neurčitého integrálu

#6 18. 02. 2016 18:22

Re: Diferenciál u neurčitého integrálu