Matematické Fórum

Krokzakrokem

Dobrý den.
Řeším teď příklad výpočet determinantů z algebraických doplňků. Přišel by mi triviální, nebýt upozornění v zadání:
Ať D Je matice algebraických doplňků matice A. Spočtěte det(D). Pozor: O příkladu se vyplatí přemýšlet, potom až počítat.
$A = \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 2 & 4 & 2\\ 3 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 2\\ 3 & 2 & 1 & 0\\ \end{array} \right)$ .

Prosim tedy někoho zkušenějšího o kontrolu, zda postupuji správně a jestli není u tohoto příkladu třeba ještě si uvědomit...

Moje řešení:

1) Ověřím hodnost matice, zda je matice skutečně čtvercová (i když z výpočtu determinantu matice D by to vyšlo najevo). Například pomocí GEM.

2) Spočítám algebraické doplňky $D_{1,1}$ až $D_{4,4}$

např.: $D_{1,1} = (-1)^{1+1} \cdot |\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 3 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 0\\ \end{array} \right)| = -1$ ,

$D_{2,1} = (-1)^{2+1} \cdot |\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 3 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 3 & 1 & 0\\ \end{array} \right)| = 0$ atd.

No a pak spořítám determinant nově vzniklé matice D, například pomocí GEM. Pokud jsem neudělala chybu v doplňcích, mělo by vyjít 125.

Předem děkuji za případné připomínky / schválení postupu.

byk7 · 17. 02. 2016 18:04

Tvůj přístup asi bude v pořádku, ale jde to jednodušeji. Ono totiž pro regulární matice platí
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot D^{\mathsf T}$ a $\left|D^{\mathsf T}\right|=|D|$ , takže
$|D|=\left|D^{\mathsf T}\right|=|A|\cdot\left|A^{-1}\right|=\cdots$

vanok · 17. 02. 2016 19:29 — Editoval vanok (17. 02. 2016 19:30)

Pozdravujem,
Je zaujimave sa tu
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Determinant
poucit.

Prakticky pokial ide o numericky vypocet moze byt zaujimave robit na determinante povolene upravy aby sa ziskalo co najviac nul a az potom aplikovat Laplace-ovu metodu.

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2016 17:44 — Editoval Krokzakrokem (17. 02. 2016 17:47)

Matice algebraických doplňků

#2 17. 02. 2016 18:04

Re: Matice algebraických doplňků

#3 17. 02. 2016 19:29 — Editoval vanok (17. 02. 2016 19:30)

Re: Matice algebraických doplňků

Zápatí