Matematické Fórum

xstudentíkx · 18. 02. 2016 19:53

Pěkný večer,

mám problém s vyřešením konvergence jedné řady. Zadání vypadá následovně: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n^{2}+5)^{\frac{1}{3}}-(n^{2}+1)^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{1}{4}}}$ . Limita je rovna nule, čímž je nutná podmínka splněna. Srovnávací kritérium mě napadlo, ale bohužel jsem správně nezvolila druhou stranu.
Prosila bych o drobné popostrčení.

Brano · 18. 02. 2016 20:02 — Editoval Brano (18. 02. 2016 23:28)

$(n^2+5)^{1/3}=n^{2/3}$1+\frac{5}{n^2}$^{1/3}= n^{2/3}$1+\frac{5}{3n^2}+o(n^{-2})$=n^{2/3}+\frac{5}{3}n^{-4/3}+o(n^{-4/3})$
podobne
$(n^2+1)^{1/3}=n^{2/3}+\frac{1}{3}n^{-4/3}+o(n^{-4/3})$
a teda
$\frac{(n^2+5)^{1/3}-(n^2+1)^{1/3}}{n^{1/4}}=\frac{4}{3}n^{-19/12}+o(n^{-19/12})$
takze podla limitneho porovnavacieho kriteria konverguje

EDIT: opravene preklepy

xstudentíkx · 18. 02. 2016 20:31

↑ Brano:

Pěkné řešení, bohužel nevím jak jsi přišel k tomuto $o(n^{-2})$ a dalším. Mohl bys trochu rozepsat jak na to? Případně poslat odkaz kde o tom něco načtu? Děkuji

Brano · 18. 02. 2016 23:29 — Editoval Brano (18. 02. 2016 23:33)

ide o Taylorov rozvoj do prveho radu s Peanovym zvyskom - docitas sa o tom aj na wiki
$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+o(x)$

Freedy · 19. 02. 2016 16:18

↑ xstudentíkx:
Ahoj, bez používání taylora a peanového zbytku lze postupovat třeba takto:
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt[3]{n^2+5}-\sqrt[3]{n^2+1}}{\sqrt[4]{n}}=4\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[4]{n}\Big(\sqrt[3]{(n^2+5)^2}+\sqrt[3]{(n^2+5)(n^2+1)}+\sqrt[3]{(n^2+1)^2}\Big)}$

Nyní lze řadu
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[4]{n}\Big(\sqrt[3]{(n^2+5)^2}+\sqrt[3]{(n^2+5)(n^2+1)}+\sqrt[3]{(n^2+1)^2}\Big)}$
srovnat s řadou (například):
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\frac{19}{12}}}$ která konverguje podle známé řady $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^\alpha }$ , která konverguje pro $\alpha >1$

xstudentíkx · 19. 02. 2016 16:36

↑ Brano:

Díky určitě se na to kouknu a něco nového přiučím :)

↑ Freedy:

Dík, budu muset víc využívat právě toho srovnávání...Teď už je to evidentní :/

Matematické Fórum

#1 18. 02. 2016 19:53

konvergence řady

#2 18. 02. 2016 20:02 — Editoval Brano (18. 02. 2016 23:28)

Re: konvergence řady

#3 18. 02. 2016 20:31

Re: konvergence řady

#4 18. 02. 2016 23:29 — Editoval Brano (18. 02. 2016 23:33)

Re: konvergence řady

#5 19. 02. 2016 16:18

Re: konvergence řady

#6 19. 02. 2016 16:36

Re: konvergence řady

Zápatí