Matematické Fórum

vytautas · 28. 02. 2016 23:04

Zdravím

vedel by mi niekto pomôcť ako dokázať toto kritérium pre matice 2x2 len s pomocou definície skalárneho súčinu, prípadne normy a pravidiel pred determinanty ?

ďakujem.

Rumburak

↑ vytautas:

Ahoj.

Maticí A typu (n, n) je určena kvadratická forma q(x) = <Ax, x>.

Platí-li zde q(x) > 0 pro každý nenulový vektor x , pak (a jedině tehdy) říkáme, že matice A je posititivně definitní.

Mohlo by pomoci vyjít z nerovnosti q(x) > 0 a upravit ji tak, aby v ní vystupovaly oba "diagonální" determinanty
matice A (typu (2, 2)).

vanok · 29. 02. 2016 12:41

Pozdravujem ↑ vytautas:, ↑ Rumburak:
V tvojom pripade dane kriterium je vlastne podmienka kladnosti kvadratickeho trojclena.

vytautas · 01. 03. 2016 23:34

↑ Rumburak:

Ahoj, ďakujem za odpoveď, no nemám definovanú kvadratickú formu, takže to nemôžem použiť.

↑ vanok:

Aký trojčlen máš na mysli ?
Ďakujem.

vanok · 02. 03. 2016 03:32

↑ vytautas:
$ax^2+bx+c$

Rumburak · 02. 03. 2016 12:30

↑ vytautas:

Kvadratickou formu q(x) = <Ax, x> přece LZE definovat "pouze" pomocí skalárního součinu < . , . > , neboť
i spoučin Ax matice A se sloupcově zapsaným vektorem x lze definovat při splnění této podmínky:
Je-li $a_i$ i-tý řádek matice A, potom $Ax = (\langle a_1 , x\rangle , \langle a_2 , x\rangle , ... , \langle a_n , x\rangle )^T$ .

vanok · 02. 03. 2016 17:23

↑ Rumburak:
Pozdravujem, ako napisal kolega ↑ vytautas:, ide mu len o matice 2x2.
Tak preto, som nic nepisal o vseobecnejsiej situacii.

Rumburak · 04. 03. 2016 10:58

↑ vytautas:

Ahoj. Když jste ještě nezavedli kvadratické formy a přesto pracujete s pojmem positivně-definitní matice,
pak jste museli tento pojem definovat nějak jinak než přes kvadratickou formu. Z jaké definice se tedy má vyjít ?

vytautas · 04. 03. 2016 19:59

↑ Rumburak:

Nech $x \in \mathbb{C}$ Potom maticu $A$ nazveme pozitívne definitnou, ak platí $\forall x : x^*Ax \ge 0$ a $=0 \Leftrightarrow x=0$

kde $x^*$ je hermitovské združenie.

Rumburak

↑ vytautas:

O.K. Výraz $x^*Ax$ je, řekl bych, jen jiný zápis výrazu $\langle Ax, x \rangle$ , který se nazývá kvadratickou formou.
Jde o to vyjádřit ho detailně pomocí souřadnic $x_1, x_2$ vektoru $x$ a prvků $a_{i,j} (i, j \in \{1, 2\})$ matice $A$ . Tedy

$Ax = (a_{1,1}\cdot x_1 + a_{1,2}\cdot x_2 , a_{2,1}\cdot x_1 + a_{2,2}\cdot x_2)^T$ ,

$q(x) := x^*Ax = (a_{1,1}\cdot x_1 + a_{1,2}\cdot x_2) \cdot x_1 + (a_{2,1}\cdot x_1 + a_{2,2}\cdot x_2) \cdot x_2 = \\ = a_{1,1}\cdot x_1^2 + a_{2,}\cdot x_2^2 + (a_{1,2} + a_{2,1}) \cdot x_1 \cdot x_2$ .

Dále:

I. Pro libovolné reálné $\lambda$ je zřejmě $q(\lambda x) = \lambda^2q(x)$ , speciálně $q(x) = 0$ , je-li $x$ nulový vektor.

II. Je-li $x$ NEnulový vektor, potom buďto $x_1 \ne 0$ nebo $x_2 \ne 0$ .

a) Nastane-li případ $x_1 \ne 0$ , položíme $t = \frac {x_2}{x_1}$ , takže bude

$x_2 = x_1 t, x = (x_1, x_1 t)^T = x_1(1, t)^T, q(x) = x_1^2 q((1, t)^T)$ .

Znaménko čísla $q(x)$ tudíž závisí pouze na znaménku čísla $q((1, t)^T$ . Zbývá vyšetřit "znaménkové" vlastnosti
funkce $t \mapsto q(t)$ , kde $q(t)$ je v závislosti na matici $A$ polynom nejvýše druhého stupně.

b) Případ $x_2 \ne 0$ by se řešil obdobně.

jk83 · 28. 12. 2016 22:08

Ahojte, můžete mi prosím pomoct s následujícím příkladem? Děkuji Jitka

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-12/59274_xy.jpg

vytautas · 28. 12. 2016 22:24

↑ jk83:

ahoj, napíš si kvadratické formy maticovo, potom môžme pokračovať

jk83 · 08. 01. 2017 22:03

↑ vytautas:

a) 2 -1
-1 1

b) -3 4
4 -6

c) u tohoto bodu bohužel nevím :(

vytautas · 09. 01. 2017 08:23

↑ jk83:

prva bude spravne $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

druha teda $\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}$

tretia $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 5 \\ 0 & 5 & 6 \end{pmatrix}$
(zamysli sa preco)

no a teraz, co vravi sylvestrovo pravidlo ?

vanok · 09. 01. 2017 08:45 — Editoval vanok (09. 01. 2017 08:48)

Ahoj ↑ jk83:
Mozes pouzit Sylvestrovu signaturu danych foriem,
Cize napr. vdaka Gaussovej metode ich oses napisesat ako sucet/ rozdiel elemenratnych foriem co umozni pouzit Sylvestrove kriterium.
Napr, prva je
$...=2(x-(1/2)y)^2-(1/2) y^2+y^2=2(x-(1/2)y)^2+(1/2)y^2$
Tak Sylvestrova sing. je (2,0) a forma je def. positivna.

vanok · 09. 01. 2017 10:39 — Editoval vanok (09. 01. 2017 11:22)

Ahoj ↑ jk83:
Druha da $-3(x-(4/3)y)^2-(2/3)y^2$ Tak ma sign. (0,-2) cize def. negativna
Tretia mi dala sign.
(2,-1) dopln si to...

Matematické Fórum

#1 28. 02. 2016 23:04

Sylvestrovo pravidlo

#2 29. 02. 2016 11:05 — Editoval Rumburak (05. 03. 2016 12:01)

Re: Sylvestrovo pravidlo

#3 29. 02. 2016 12:41

Re: Sylvestrovo pravidlo

#4 01. 03. 2016 23:34

Re: Sylvestrovo pravidlo

#5 02. 03. 2016 03:32

Re: Sylvestrovo pravidlo

#6 02. 03. 2016 12:30

Re: Sylvestrovo pravidlo

#7 02. 03. 2016 17:23

Re: Sylvestrovo pravidlo

#8 04. 03. 2016 10:58

Re: Sylvestrovo pravidlo

#9 04. 03. 2016 19:59

Re: Sylvestrovo pravidlo

#10 05. 03. 2016 11:42 — Editoval Rumburak (05. 03. 2016 13:26)

Re: Sylvestrovo pravidlo

#11 28. 12. 2016 22:08

Re: Sylvestrovo pravidlo

#12 28. 12. 2016 22:24

Re: Sylvestrovo pravidlo

#13 08. 01. 2017 22:03

Re: Sylvestrovo pravidlo

#14 09. 01. 2017 08:23

Re: Sylvestrovo pravidlo

#15 09. 01. 2017 08:45 — Editoval vanok (09. 01. 2017 08:48)

Re: Sylvestrovo pravidlo

#16 09. 01. 2017 10:39 — Editoval vanok (09. 01. 2017 11:22)

Re: Sylvestrovo pravidlo

Zápatí