Matematické Fórum

janusz · 04. 03. 2016 21:46 — Editoval janusz (05. 03. 2016 10:11)

Dobrý den, mám dotaz ohledně níže popsaného integrálu
$\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{} \frac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})}dxdydz$
Pro $D=\{(x,y,z)=R^{3};x\ge 1\wedge z\ge 0\wedge x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\}$
V knize byl určitý postup přes polární souřadnici, ale já se to pokoušel řešit přes sféry, ale pořad mi vycházely jen části výsledku, protože jsem asi neměl správně meze. Muže mi někdo poradit, jak mají meze vypadat?
Po převedení na sféry a doplnění jakobianu mi vyšlo
$\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}sin\Theta \cos \Theta drd\Theta d\varphi$
Výsledek podle knihy je $-\frac{\pi }{6}+\frac{3\sqrt{3}}{8}$

a jeje, vsiml jsem si, ze v zadani je cely jmenovatel ^(5/2), takže výsledek z knihy tomu vbude odpovídat, ale me jde hlavne o ty meze, tak to nemusite brat v potaz..:-)

Rumburak · 05. 03. 2016 11:55

↑ janusz:
Ahoj.
Co to znamená "řešit přes sféry" ? Popiš tu prpblematickou substituci konkretně.

janusz · 05. 03. 2016 12:31

↑ Rumburak:
omlouvám se za nejasnost. myslel jsem substituci do sferickych souřadnic. substituce sama o sobe ok, ale nevím, jak urcit spravne meze..

Rumburak · 05. 03. 2016 13:22

↑ janusz:

Substituce do sférických souřadnic, i když ji nekombinujeme s posunutím, jak někdy bývá vhodné,
může být provedena několika způsoby, třeba "učebnicově" ve tvaru

$x = r \cos \theta \cos \varphi , y = r \cos \theta \sin \varphi , z = r \sin \theta$ ,

kde $r > 0 , \theta \in $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ , \varphi \in (0, 2\pi)$ , nebo i jinak, například

$z = r \cos \theta \cos \varphi , y = r \cos \theta \sin \varphi , x = r \sin \theta$

za stejných podmínek - podle toho, jak se to lépe hodí, což ne vždy je jednoznačně jasné.
Má-li Ti ji někdo zkontrolovat, musí vědět, jak jsi ji zavedl Ty.

janusz · 05. 03. 2016 19:03

↑ Rumburak:

takže, původní integrál $\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}\frac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2)^{5/2}}}dxdydz$

jsem se rzhodl převest na sférické souřadnice, protože výše popsaná množina tvoří vlastně úseč koule na $x=\langle1;2\rangle$

po přechodu na sferické souřadnice ( já jsem použil $y = r \cos \theta \cos \varphi , x = r \cos \theta \sin \varphi , z = r \sin \theta$ a jakobiánu transformace $J=-r\sin \theta$ )

mi vyšel integrál $\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}\frac{-\sin \theta\cos \theta}{r^{3}}drd\theta d\varphi$

ale teď jsem v koncích, jak pro něj určit meze. původně jsem je chtěl určit jako $r=\langle1;2\rangle;\theta = \langle0;\frac{\pi }{3}\rangle;\varphi =\langle-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\rangle$ , ale nevychází mi to..

janusz · 07. 03. 2016 09:48

↑ janusz:

Rumburak

↑ janusz:

Po dosazeni $y = r \cos \theta \cos \varphi , x = r \cos \theta \sin \varphi , z = r \sin \theta$ , kde

(1) $r \ge 0 , 0 \le \varphi \le 2\pi , -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ :

podmínka $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4$ přejde v podmínku $r^2 \le 4$ ,
podmínka $z\ge 0$ přejde v podmínku $r \sin \theta \ge 0$ ,
podmínka $x\ge 1$ přejde v podmínku $r \cos \theta \sin \varphi \ge 1$ ,

při čemž zároveň předpokládáme (1). Odtud ihned

(2) $0 \le r \le 2$ , $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ ,

takže platí i $\cos \theta \ge 0$ .

Případ $\cos \theta = 0$ , v našem případě tedy $\theta = \frac{\pi}{2}$ , dá podmnožinu osy $z$ , tudíž jistou množinu $Z$
mající trojrozměrnou míru 0, takže hodnota počítaného integrálu přes množinu $D$ se nezmění, pokud
změníme integrační množinu z $D$ na $D-Z$ přidáním předpokladu $\cos \theta \ne 0$ . Z podmínky $x \ge 1$
pak obdržíme

$r \sin \varphi \ge \frac {1}{\cos \theta}$ .

Obdobnou úvahou vyloučíme případ $r = 0$ a poslední nerovnost nahradíme nerovností

(3) $\sin \varphi \ge \frac {1}{r \cos \theta}$ , kde zároveň $0 \le \varphi \le 2\pi$ .

Celkem tedy máme nerovnice (2) , (3). Z (3) dále plyne

$\frac{\pi}{2} - \arcsin \frac {1}{r \cos \theta} \le \varphi \le \frac{\pi}{2} + \arcsin \frac {1}{r \cos \theta}$ .