Matematické Fórum

binuralka

Zdravím všechny příznivce fyziky!

Měl bych tu pro Vás jeden příklad, s kterým bych potřeboval píchnout. Předem děkuji za pomoc.

Zadání:
Na zemi leží srolovaná plachta obdélníkového tvaru, která má šířku a a délku b. Plošná hustota plachtoviny je $\sigma (kg.m^{-2})$ . Plachtu zvedáme (jeden konec zvedáme, zbytek leží na zemi a postupně se rozmotává). Vypočítejte závislost vykonané práce na výšce h, do které zvedneme horní okraj plachty.

Úvaha:
Přemýšlel jsem nad zadáním a nenapadlo mě nic jiného než $W = m.g.h$ , kdy je práce svisle vzhůru závislá na hmotnosti plachty.

Navazující úkol:
Místo obdélníkové plachty, zvedáme plachtu trojúhelníkového tvaru (s pravým úhlem u stěžně dole). Cíp plachty je nahoře a plachta svírá se stěžněm úhel $\alpha$ . Vypočítejte závislost vykonané práce na výšce h, do které zvedneme horní cíp plachty.

viz.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/98816_plachta.jpg

zdenek1 · 05. 03. 2016 18:49

↑ binuralka:
navrhoval bych spočíta výšku těžiště rozvinuté plachty a využít pravidla
$W=mgh_{teziste}$

binuralka · 05. 03. 2016 18:56

Rozumím, skvělý nápad. Jak to ale všechno zapsat matematicky..?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/00602_zavislost.jpg

zdenek1 · 05. 03. 2016 22:54

↑ binuralka:
to si děláš srandu
$W=\underbrace{\frac12ab\sigma}_{m}\cdot g\cdot\underbrace{\frac13b}_{h_{\text{tezite}}}$

h0llen · 01. 04. 2019 22:43

↑ zdenek1:
Zdravím, chtěl bych se zeptat, proč je v tom vzorečku ta 1/3? Snažil jsem se to spočítat několikrát ale pořád ji tam nemůžu najít :D

Jj · 02. 04. 2019 02:45 — Editoval Jj (02. 04. 2019 02:49)

↑ h0llen:

Hezký den.

$W=\underbrace{\frac12ab\sigma}_{m}\cdot g\cdot\color{red}\underbrace{\frac13b}_{h_{\text{tezite}}}$

Souvisí s výpočtem výšky těžiště trojúhelníkové plachty nad její vodorovnou spodní hranou.

MichalAld

Lze to spočítat i přímo, jen musíme integrovat. Plachtu si "rozřežeme" na vodorovné proužky o výšce dh, každý z nich přispívá k celkové energii elementem

$dE = (gh)dm = (gh\sigma L)dh$

L je délka příslušného "proužku", obecně závisí na h, je to tedy funkce L = L(h)
ty závorky jsou tam jen aby bylo jasné, že dm či dh jsou elemnety m či h (a né dvě písmena).
sigma je plošná hustota hmotnosti - tj hmotnost jednotkové plochy plachty.

A můžeme integrovat. Pro plachtu obdélníkového tvaru je L konstanta, což věc činí celekm triviální, takže:

$E = \int_{0}^{H} g \sigma L hdh = g \sigma L \int_{0}^{H} hdh = g \sigma L [\frac{1}{2}h^2]_0^H=\frac{1}{2}(LH \sigma)gH = \frac{1}{2}mgH$

V předposledním kroku jsem dal zo závorky to, co představuje hmotnost plachty.

Pro trojúhelníkovou plachtu je to trochu složitější, a z části také proto, že plachta má "blbý" tvar, lepší by bylo, kdyby měla ten "hrot" dole, ve výšce 0. Dalo by se také postupovat tak, že vypočteme energii myšlené obdélníkové plachty a od ní odečteme energii toho, co chybí. Ale není to až tak složité to spočítat rovnou.

Trochu upozorňuji, že máme drobný problém s písmeny - h/H. H označuje výšku plachty, zatímco h je proměnná, pro funkci L(h) - šířku plachty ve výšce h. Pro trojúhelníkovou plachtu bude ten samý problém ještě s šířkou, a to vyřešíme elegantně tak, že šířku základny trojúhelníkové plachty označíme jako D.

Pak pro šířku plachty ve výšce h (délku našeho vodorovného proužku) máme vztah:

$L(h)=\frac{H-h}{H}D=D-h\frac{D}{H}$

Další postup je stejný,

$E = \int_{0}^{H} g \sigma L(h) hdh = \int_{0}^{H} g \sigma D hdh - \int_{0}^{H} g \sigma \frac{D}{H} h^2 dh = g\sigma D \frac{1}{2}H^2 - g\sigma \frac{D}{H}\frac{1}{3}H^3$

První integrál je ten samý, jako v předchozím případě, druhý odpovídá energii té chybějící části obdélníkové plachty.

Tedy

$E = g\sigma D \frac{1}{2}H^2 - g\sigma \frac{D}{H}\frac{1}{3}H^3 = g\sigma D \frac{1}{2}H^2 - g\sigma D\frac{1}{3}H^2 = g \sigma DH^2 (\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=\frac{1}{6}g \sigma DH^2$

Teď si ještě musíme uvědomit, jaká je hmotnost plachty trojúhelnikového tvaru, je to 1/2 HD * hustota.

Takže nakonec dostaneme

$E = \frac{1}{6}g \sigma DH^2 = \frac{1}{3} gH \frac{1}{2}\sigma DH=\frac{1}{3}gHm.$

Analogicky lze postupovat pro libovolný jiný tvar plachty. Výsledek se bude lišit jen příslušným koeficientem - který lze chápat jako nějakou "efektivní výšku plachty" a zdá se, že to odpovídá výšce těžiště plachty (ale to jsem teď neprověřoval).

Ještě teoretická poznámka - mlčky jsme předpokládali, že potenciální energie svinuté plachty je nulová. Není nikde nařízeno, že to tak musí být. Absolutní hodnotu potenciální energie nelze nijak změřit, ve skutečnosti jsme spočítali jen o kolik je potenciální energie vytačené plachty větší než srolované.