Matematické Fórum

sussye · 26. 05. 2009 11:14

prosim tuto rovnicu mam vypocitat numericky a analyticky 2y’’(t)+24y’(t)+54y(t)=u(t)

PROSIIIIIM O POMOOOOOC

Rumburak

I. Napřed najdeme řešení rovnice

(1) $2y''(t)+24y'(t)+54y(t)=0$ .

Vycházíme z předpokladu, že jejím řešením je funkce

(2) $y(t) = \text{e} ^{\lambda t}$

pro vhodnou konstantu $\lambda$ . Dosazením funkce (2) do dif. rovnice (1) získáme algebraickou rovnici
(tzv. charakteristickou rovnici dif. rovnice (1)) pro neznámou $\lambda$ . Ta má v našem případě 2 různé reálné kořeny $\lambda _1 , \, \lambda _2$ ,
což je ta nejjednodušší situace z možných.
Získáme tím funkce $y_1(t) = \text{e} ^{\lambda _1 t}$ , $y_2(t) = \text{e} ^{\lambda _2 t}$ , z nichž každá je řešením rovnice (1).
Pro vyjádření obecného řešení rovnice (1) využijeme dvou skutečností:
1. Množina všech řešení rovnice (1) je lineární prostor dimense 2,
2. Funkce $y_1, \, y_2$ jsou lineárně nezávislé.
Obecné řešení rovnice (1) má tedy tvar
(3) $y(t) = Ay_1(t) +By_2(t) = A\text{e} ^{\lambda _1 t} + B\text{e} ^{\lambda _2 t}$ ,
kde A,B jsou obecně libovolné konstanty.

II. Řešení rovnice

(4) $2y''(t)+24y'(t)+54y(t)=u(t)$

se získá z (3) tzv. metodou variace konstant - o tom případně později, bude-li to ještě aktuální.

sussye · 26. 05. 2009 11:50

dakujem strasne krasne...takze to je numericky a to druhe analyticky mi mozte tiez pomoct ako sa to robi cez ten variace konstant....dakujem velmi velmi velmi pekne za pomoc

Rumburak

Máme tedy obecné řešení
(3) $y(t) = Ay_1(t) +By_2(t) = A\text{e} ^{\lambda _1 t} + B\text{e} ^{\lambda _2 t}$
(A, B jsou konstanty) rovnice $2y''(t)+24y'(t)+54y(t) = 0$ a hledáme řešení rovnice

(4) $2y''(t)+24y'(t)+54y(t)=u(t)$

Metoda řešení pomocí tzv. variace konstant spočívá v tom, že vezmeme tvar (3),
v němž ale na místě konstant A,B uvažujeme funkce A(t), B(t), tj.
(5) $y(t) = A(t)y_1(t) +B(t)y_2(t) = A(t)\text{e} ^{\lambda _1 t} + B(t)\text{e} ^{\lambda _2 t}$ .
Platí věta, která říká, že funkce A, B lze volit tak, aby (argument t pro zjednodušení zápisu vynechávám)
$A'y_1 + B'y_2 = 0$ ,
$A'{y_1}' + B'{y_2}' = u$ ,
což je soustava rovnic, z níž lze vyjádřit neznámé funkce A' , B' , které pak zintegrujeme.
Obecné řešení rovnice (4) pak bude mít tvar
$y(t) = [A(t) + C]y_1(t) +[B(t) + D]y_2(t) = [A(t) + C]\text{e} ^{\lambda _1 t} + [B(t) + D]\text{e} ^{\lambda _2 t}$ ,
kde C,D jsou integrační konstanty.

POZNÁMKA. Toto je analytické řešení, nikoliv numerické. NŘ by se provádělo nějakou numerickou metodou, což je ale oblast mně nepříliš známá.

sussye · 26. 05. 2009 17:22

dakujem velmi pekne

sussye · 27. 05. 2009 10:48

neviete niekto este to numericke riesenie, za to analyticke este raz velmi velmi velmi pekne dakujem

kaja(z_hajovny)

zkuste google a eulerovu metodu nebo metodu runge kutta, ale pokud nemate zadanou funkci u a pocatecni podminku, tak s numerickym resenim moc stesti nenadelate

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2009 11:14

Diferencialna rovnica

#2 26. 05. 2009 11:46 — Editoval Rumburak (30. 01. 2014 11:00)

Re: Diferencialna rovnica

#3 26. 05. 2009 11:50

Re: Diferencialna rovnica

#4 26. 05. 2009 14:33 — Editoval Rumburak (30. 01. 2014 11:04)

Re: Diferencialna rovnica

#5 26. 05. 2009 17:22

Re: Diferencialna rovnica

#6 27. 05. 2009 10:48

Re: Diferencialna rovnica

#7 27. 05. 2009 11:06 — Editoval kaja(z_hajovny) (27. 05. 2009 11:08)

Re: Diferencialna rovnica

Zápatí