Matematické Fórum

Ginco · 26. 05. 2009 22:24 — Editoval Ginco (26. 05. 2009 22:25)

ahoj potrboval bych PROSÍM pomoct :

mám fci : $f(x)=(1+x)e^{-x}$ x_0 = -1

Najděte Taylorův rozvoj, určete obor konvergence, obor abs. konvergence

Moc nevím jaký je ten algoritmus...nemůže někdo poradit pár základních triků

lukaszh · 26. 05. 2009 22:57

↑ Ginco:
Najprv zvolím substitúciu $x+1=y$ . Potom počítam Maclaurinov rad funkcie
$g(y)=y\cdot\rm{e}^{\,1-y}$
To nebude ťažké, keďže
$g(y)=y\cdot\rm{e}^{\,1-y}=\rm{e}\cdot y\cdot\rm{e}^{-y}$ . Potom Maclaurinov rad je
$g(y)=\rm{e}\cdot y\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-y)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{\rm{e}}{n!}\cdot y^{n+1}$
A teraz späť k subsitúcii
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{\rm{e}}{n!}\cdot (x+1)^{n+1}$
Chápeš?

Ginco · 26. 05. 2009 23:04

↑ lukaszh:

supr!!

ale mam priklad, kde na to musim asi jinak ne?

$f(x)=2^{5x-3}$

lukaszh · 26. 05. 2009 23:06

↑ Ginco:
Má sa robiť Maclaurin alebo Taylor? Ak Taylor, tak v akom bode.

Ginco · 26. 05. 2009 23:11

↑ lukaszh:

x_o=0 takze maclurin

lukaszh · 26. 05. 2009 23:13

↑ Ginco:
No to opäť nebude také hrozné :-) Stačí si uvedomiť
$2^x=\rm{e}^{\,x\cdot\ln 2}$

Ginco · 06. 07. 2009 00:24

ahoj mám podobný příklad jako posledně, ale nevím jak na něj....

urči maclaurina: $f(x)=(1+x)e^{-x}$

díky za rady

jelena · 06. 07. 2009 01:21

↑ Ginco:

Zdravím, co se nezdá na Maclaurinovi?

x_0=0,

první člén je 1, druhý "vypadává", ale pak se střídají znaménka +, - ... (pokud jsem dobře derivovala :-)

Postup, ale ten určitě máš.

OK?

Rumburak · 07. 07. 2009 10:15

↑ Ginco:
Zde $f(x)=(1+x)e^{-x}$ se dá s úspěchem využít již známý ML rozvoj exponenciály $\text{e} ^{\,t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {t^n}{n!}$ :

$f(x)=(1+x)e^{-x}= (1+x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-x)^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac {(1+x) (-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n (x^n + x^{n+1})}{n!}=$
$=\sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n x^{n+1}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n x^n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n-1} x^{n}}{(n-1)!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^n x^n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n-1} x^{n}}{(n-1)!} = ...$ .
(Formálně sečíst dvě poslední řady a výsledek upravit snad již nebude těžké.)

Ginco · 07. 07. 2009 15:09

↑ Rumburak:

díky moc, pěkně jsi to udělal a dobře mi to vysvětlil!

jen dopíši ten konec...

$\color{blue}...=1+\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{(-1)^n}{n!}+ \frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg)x^n=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(n-1)+(-1)^{n-1}}{n!}x^n=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(1-n)}{n!}x^n=\underline{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(1-n)}{n!}x^n}$

Rumburak · 07. 07. 2009 16:55

↑ Ginco:
Výsledek mi vyšel stejně, ale mám dojem, že úprava (při převodu na spol. jmenovatele ve velké závorce) by správně měla být (podtrženo)
$\color{blue}...=1+\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{(-1)^n}{n!}+ \frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg)x^n= 1+\sum_{n=1}^{\infty} \underline{\frac{(-1)^n+(-1)^{n-1}n}{n!}} x^n=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(1-n)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(1-n)}{n!}x^n$ .
Že se první chyba opravila další chybou v následujícím kroku, toť vzácný případ zázraku a chvíli jsem na to jen tupě zíral, nevěda, zda mi nehráblo ... :-)

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2009 22:24 — Editoval Ginco (26. 05. 2009 22:25)

taylorův rozvoj fce

#2 26. 05. 2009 22:57

Re: taylorův rozvoj fce

#3 26. 05. 2009 23:04

Re: taylorův rozvoj fce

#4 26. 05. 2009 23:06

Re: taylorův rozvoj fce

#5 26. 05. 2009 23:11

Re: taylorův rozvoj fce

#6 26. 05. 2009 23:13

Re: taylorův rozvoj fce

#7 06. 07. 2009 00:24

Re: taylorův rozvoj fce

#8 06. 07. 2009 01:21

Re: taylorův rozvoj fce

#9 07. 07. 2009 10:15

Re: taylorův rozvoj fce

#10 07. 07. 2009 15:09

Re: taylorův rozvoj fce

#11 07. 07. 2009 16:55

Re: taylorův rozvoj fce

Zápatí