Matematické Fórum

DanDan · 21. 03. 2016 02:33 — Editoval DanDan (21. 03. 2016 02:51)

zdravím, prosím o pomoc.. Jordanovů tvar matice mi vyšel (1, 0 ,0) a potřebuji ho zlogaritmovat. Matice je bloková a
(0,1,1)
(0,0,1)

rozdělil jsem to na (ln1,0,0) (ono to je asi dost špatně vidět), podle internetu ten logaritmus toho bloku dole by měl
(0, ln(11))
(0, (01))

vyjít (0,1) a ln1 je nula, takže mohlo mi vyjít (0,0,0) ? dík..
(0,0) (0,0,1)
(0,0,0)

Rumburak

↑ DanDan:

Ahoj.

Ten "logaritmusmus matice" jste si museli nějak definovat. Obvykle se postupuje takto (ukáži obecněji).
Vychází se při tom z teorie mocninných řad.

Uvažujme funkci

(0) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

pro $x \in J$ , kde $J$ je číselný interval, na němž uvedená mocninná řada konverguje.

Není problém v algebraickém výrazu $f_k(x) := \sum_{n=0}^{k} a_n x^n , k \in \mathbb{N}$ nahradit číselnou proměnnou $x$
čtvercovou maticí $X$ dohodnutého typu $(p, p)$ s tím, že $X^0$ je rovno odpovídající jednotkové matici.
Můžeme pak psát

(1) $f_k(X) := \sum_{n=0}^{k} a_n X^n$ ,

čímž jsme "přirozeným způsobem" rozšířili definiční obor funkce $f_k$ (původně reálné proměnné) i na všechny
čtvercové matice typu $(p, p)$ (funkční hodnotou je pak rovněž čtvercová matice téhož typu).

Nechť $L_p$ je množina všech čtvercových matic typu $(p, p)$ . Na ní máme jednak jakousi algebraickou strukturu,
avšak nejen to. Na $L_p$ lze definovat normu a tedy i topologii umožňující zavést pojem konvergence posloupnosti.
Může se pak stát, že pro některou matici $X \in L_p$ bude posloupnost $(f_k(X))$ konvergentní, tj. jistá matice
$Y \in L_p$ bude její limitou. Pak není problém psát

$Y = \lim_{k \to \infty}f_k(X) = \lim_{k \to \infty}\sum_{n=0}^{k} a_n X^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n$ ,

kde výraz $\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n$ označíme (ve shodě s (0)) symbolem $f(X)$ , takže tímto způsobem jsme rozšířili
i definiční obor funkce $f$ .

Speciálně:

$\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+ \cdots$ pro $x \in (-1 , 1\rangle$ ,

$\ln (E+X) := X - \frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{3}-\frac{X^4}{4}+ \cdots$ ,

jestliže $E$ je jednotková matice v $L_p$ , $X \in L_p$ , $||X|| < 1$ .

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2016 02:33 — Editoval DanDan (21. 03. 2016 02:51)

logaritmus matice

#2 21. 03. 2016 11:48 — Editoval Rumburak (21. 03. 2016 14:41)

Re: logaritmus matice

Zápatí