Matematické Fórum

Klára258 · 26. 03. 2016 01:24

Zdravím všechny !
Prvně se chci omluvit, pokud-li jsem někde přehlédla ale odpověď na svojí otázku se mě nepodařilo nalézt a jsem z toho trošičku už zoufalá..

Mám problém s homogenními maticemi. Chápu že mají minimálně jedno řešení, a to samé nuly nebo nekonečně mnoho řešení. Ale mám nehorázný zmatek co se týče těch nekonečně mnoho řešení... Ve skriptech je to divně popsáno, za pomocí nějakých lineárních kombinací.. Já jsem měla za to, že stejně jako u homogenních, za volné proměnné dosadím parametr, a poté vypočítávám dále a že výsledek by například byl (x_{3} = t, x_{2} = t+2...) . A že se tedy za daný parametr může dosadit jakékoliv číslo.. Toto by bylo obecné řešení, a partikulární by bylo, že by mne byly zadány hodnoty, jež bych dosadila za příslušné proměnné? Pokud by mne někdo mohl potvrdit mé domněnky, že se nemýlím či opravit bla bych velmi vděčná :). Mnohokrát děkuji!

Pritt · 26. 03. 2016 17:28 — Editoval Pritt (26. 03. 2016 17:34)

Zdravím,

pokud řešíš homogenní soustavu rovnic, tedy soustavu rovnic s nulovou pravou stranou, můžou nastat dvě situace.
1) Matice bude mít (po úpravě na horní stupňovitý/trojúhelníkový tvar) všechny sloupce hlavní.
V tomto případě je řešení pouze triviální. Tedy nulový vektor.

2) Matice bude mít alespoň jeden sloupec vedlejší.
Např: $\mathbb{A}= \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \; 0 \\ \end{array} \right)$
Kde řešení soustavy je např. vektor: $\vec x = \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$

Stejně tak ale řešením může být jakákoli jeho lineární kombinace. Tedy množina všech řešení této soustavy vypadá takto: $S=[ \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)]_{\lambda}$

Lineární obal vektoru $\vec x = \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ je množina všech jeho lineárních kombinací. Obecně je to tedy každý vektor tvaru:
$\vec x = \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ k \\ \end{array} \right)$ kde $k \in \mathhb{C} \wedge k \ne 0$

kryštof · 26. 03. 2016 17:52

↑ Klára258:
Ahoj. Soustava n rovnic o m neznámých (nad množinou reálných/komplexních čísel) se dá napsat v maticovém formalismu $Ax=y$ . Pokud se sloupec pravých stran y rovná nulovému vektoru z $\mathbb{R}^n$ , tj. obsahuje samé nuly, tak se ta soustava nazývá homogenní. Úplně obecně (nejen pro homogenní soustavy) platí, že pokud má soustava řešení (což nastane právě když h(A)=h(A|y)) potom stačí najít jakékoliv jedno řešení té soustavy (to se nazývá partikulární) a $m-h(A)$ lineárně nezávislých řešení příslušné homogenní soustavy (tj soustavy s maticí A a nulovým sloupcem pravých stran). Všechna řešení dostaneš tak, že k nalezenému partikulárnímu řešení přičteš libovolnou lineární kombinaci těch řešení příslušné homogenní soustavy. Tzn. pokud $x_0$ je partikulární řešení a $x_1,...,x_k$ jsou řešení té homogenní soustavy, potom všechna řešení dostaneš jako $x_0+\sum_{i=0}^{k}a_kx_k$ , kde $a_k$ jsou libovolná čísla. Pro homogenní soustavu jsou samé nuly řešením vždycky, takže se to zjednodušuje na hledání těch LN řešení. Pokud je h(A)=m, je jediným řešením nulový vektor z R^n.

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2016 01:24

Řešení homogenních matic

#2 26. 03. 2016 17:28 — Editoval Pritt (26. 03. 2016 17:34)

Re: Řešení homogenních matic

#3 26. 03. 2016 17:52

Re: Řešení homogenních matic

Zápatí