Matematické Fórum

Katsushiro · 30. 03. 2016 10:26

Ahoj všichni!

Dostal jsem se k situaci, kdy mám ODR následujícího typu:
$x'' + x' + x = f(t)\\ x(0) = 0\\ x'(0) = 0\\ f(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \in (0;2) \\ 3, & t > 2 \end{cases}$

Nejsem si ale jistý, jak postupovat při výpočtu, když mám funkci $f(t)$ jen po částech definovanou, která v bodech 0 a 2 není definovaná vůbec.

Je možné postupovat tak, že rovnici řeším 3x, pro každou pravou stranu zvlášť a pak výsledek vztahuji vždy jen k intervalu, kde je $f(t)$ definována?

A mohli byste mi, prosím doporučit, nějaký dobrý zdroj, kde bych si mohl přečíst, proč je řešení ok i když fce $f(t)$ není spojitá?

Moc děkuji za odpovědi,
Katsu

kaja.marik · 30. 03. 2016 12:40

Jeste je potreba napojit jednotliva reseni na sebe, tak aby vysledky na sebe hladce navazovaly v bodech t=0 a t=2.

Ta rovnice pochopitelne nebude platit pro t=0 a t=2, protoze tam prava strana neni definovana. Ale to nevadi, vetsinou staci, kdyz rovnice plati skoro vsude.

Online zdroje nevim, klasika je Hartmann, Differential equations.

Katsushiro · 30. 03. 2016 14:04

↑ kaja.marik:
Moc díky!

Mohl bys jen, prosím, více rozvést to "napojení" řešení na sebe? Předpokládal jsem, že mi z toho vyjde opět po částech def. fce, kdy budu mít prostě řešení s1 pro interval $t<0$ , řešení s2 pro interval $t \in (0;2)$ atd.

kaja.marik · 30. 03. 2016 15:23

Obecne reseni obsahuje dve konstanty. A mame tri reseni, takze sest konstant.

Pro reseni s2 na intervalu (0,2) dve konstanty urcim z pocatecni podminky. Pro reseni s1 na intervalu (-nekonecno, 0) dalsi 2. Ale jeste jsou potreba posledni dve, konstanty z obecneho reseni s3 na intervalu (2,nekonecno). Ty urcim tak, aby mely funkce s2 a s3 v bode 2 stejnou funkcni hodnotu i derivaci.

Vlastne zjistim, jakou ma funkcni hodnotu s2 v bode 2 a jakou ma derivaci a to potom pouziju jako pocatecni podminku na intervalu (2,nekonecno).

kaja.marik · 30. 03. 2016 15:27

Jeste k tomu, kde ma rovnice platit. Kdyz si rovnici prepisu do samoadjungovaneho tvaru $(e^t x')' + e^t x = f(t)e^t$ tak se vetsinou chce, aby $x(t)$ a $e^t x(t)$ byly diferencovatelne skoro vsude (viz treba absolutni spojitost) a rovnice platila skoro vsude.

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2016 10:26

ODR, kde pravá strana je po částech definovaná funkce

#2 30. 03. 2016 12:40

Re: ODR, kde pravá strana je po částech definovaná funkce

#3 30. 03. 2016 14:04

Re: ODR, kde pravá strana je po částech definovaná funkce

#4 30. 03. 2016 15:23

Re: ODR, kde pravá strana je po částech definovaná funkce

#5 30. 03. 2016 15:27

Re: ODR, kde pravá strana je po částech definovaná funkce

Zápatí