Matematické Fórum

Pritt · 30. 03. 2016 17:42 — Editoval Pritt (30. 03. 2016 19:30)

Zdravím, chtěl bych se zeptat, jak se řeší integrály typu:
$\int \frac{x^2+1}{x^4+1}dx$
$\int \frac{x^2+1}{x^4 + x^2+1}dx$ ?

Jmenovatele umím rozložit na součin, avšak má otázka je spíše: Jde to řešit jinak, než rozkladem na parciální zlomky?

Výsledek prvního integrálu by měl být podle skript $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot arctg{\frac{x^2-1}{x\sqrt{2}}}+\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\cdot sgn(x)$

Podle rozkladu na parciální zlomky mi vyšel jiný výsledek, tak se chci zeptat, jak se dopracovat k tomuhle.. Díky za každou radu.

edit: respektive - jde to počítat jinak?

Freedy · 30. 03. 2016 20:05 — Editoval Freedy (30. 03. 2016 20:05)

Ahoj,

není těžké první integrál rozložit na parciální zlomky:
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1}$

Nyní ukážu výpočet pouze prvního integrálu:
$I_1 = \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1}$
Jmenovatel doplníme na čtverec + 1, tedy
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1}=\int_{}^{}\frac{1}{(\sqrt{2}x+1)^2+1}$

Zavedeme substituci:
$\sqrt{2}x+1 = t$
$\sqrt{2}\text{dx} = \text{dt}$
a tedy integrál přejde do tvaru
$\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{}^{}\frac{1}{t^2+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{arctg}(t)+c$
zpětnou substitucí dostáváme:
$I_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{arctg}(\sqrt{2}x+1)+c$

jelena · 30. 03. 2016 20:07

Zdravím,

pokud vložím do WA (a tak by měly dopadnout parciální zlomky), potom nejspíš na výsledek byla ještě použita úprava. Jiný možný postup (měl by být na fóru) je v zadání vytknutí v čitateli a jmenovateli $x^2$ a úpravy, co vedly na substituci (bohužel, nejde mi to téma najít), tak to prozkoušej, zda funguje.

V náhledu vidím příspěvek kolegy Freedy, ale už to tady nechám, jelikož dotaz nebyl na parciální zlomky, pokud jsem dobře četla.

Pritt · 30. 03. 2016 20:08 — Editoval Pritt (30. 03. 2016 20:15)

↑ Freedy:

Ahoj Freedy, obávám se, že si nedočetl celý můj dotaz :-) Tento postup znám, ptal jsem zda-li to lze provést jinak.

↑ jelena:

Zdravím, děkuji a vyzkouším, nejspíš to bude ono.

Freedy · 30. 03. 2016 20:12

↑ Pritt:
metoda rozkladu na parciální zlomky je celkem známá a snad nikdy jsem neviděl podobný typ integrálů řešit jinak. Výhoda je, když je v čitateli derivace jmenovatele, nicméně to není tento případ.

jelena · 30. 03. 2016 20:18

↑ Pritt:

to je z důvodu, aby mohli napsat do jednoho výsledku všechny 3 varianty výsledku z odkazu.

↑ Freedy:, ↑ Pritt: řeknete, pokud budete zkoušet, jak dopadla metoda s vytýkáním $x^2$ , nebo to nechte provést MAW, ať se trochu otestuje :-).

Freedy napsal(a):
metoda rozkladu na parciální zlomky je celkem známá a snad nikdy jsem neviděl podobný typ integrálů řešit jinak

no právě já ano, viděla (jestli dokonce jsem i neřešila :-)), ale neumím si vybavit žádné klíčové slovo, které by navedlo.

Pritt · 30. 03. 2016 20:26

↑ jelena:

Děkuji. Já jsem vzápětí smazal ten dotaz ohledně toho sgn x, poněvadž jak jsem se kouknul na ty vzorce tak mi to došlo, tak se omlouvám..

Al1 · 30. 03. 2016 20:58

↑ Pritt:

Zdravím,

úprava integrangu

$\frac{ x^2 + 1}{x^4 + 1 }=\frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2} }=\frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}-2+2}=\nl =\frac{1}{(x-\frac{1}{x})^{2}+2}\cdot \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)$

A substituce

$x-\frac{1}{x}=u$

Pritt · 30. 03. 2016 21:11 — Editoval Pritt (30. 03. 2016 21:59)

↑ Al1:

Zdravím,
no jo v jednoduchosti je krása. Děkuji moc.

edit: ještě téma otevřu na chvíli. Podle postupu bez parciálních zlomků podle ↑ Al1: výsledek už vychází, avšak podle výsledků, které dostanu po rozkladu na parciální zlomky a následující úpravě dostávám něco jiného..

Dostávám $\frac{1}{\sqrt{2}}arctg{\frac{x\sqrt{2}}{1-x^2}}$ ta závěrečná úprava mi nějak uniká

jelena · 31. 03. 2016 09:35

Zdravím,

↑ Al1: děkuji, ano to je úprava, o které povídám v příspěvku ↑ 3: (ještě bych chtěla najít to téma, kde již bylo, nebo mne můj jediný volič diskvalifikuje :-))

↑ Pritt: v pořádku. Ohledně možných úprav - ještě lze použit vztahy pro $\mathrm{arctg}$\frac{1}{x}$$ , ale to je již takové násilné tažení k výsledku. Spíš bych se podívala, zda již po sestavení výsledku integrování dle parciálních zlomků nejde provést vhodné změny znamének pro $\mathrm{arctg}(-x)$ (zde x používám jako argument funkce arctg(...), ne přímo ve vztahu k Tvému výsledku). Pokud se nepodaří upravit, napiš, prosím, první výsledek po integrování parciálních zlomků ještě před úpravami. Děkuji.

Pritt · 02. 04. 2016 12:14 — Editoval Pritt (02. 04. 2016 12:17)

↑ jelena:

Děkuji, ano je to tak:
výsledky po per partes:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (arctg(\sqrt{2}x +1) \;\; +\;\;arctg(\sqrt{2}x -1) )=\frac{1}{\sqrt{2}}arctg(\frac{x\sqrt{2}}{1-x^2})= \nl \nl =-\frac{1}{\sqrt{2}}arctg(\frac{1-x^2}{x\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}arctg(\frac{x^2-1}{x\sqrt{2}})$

první rovnítko - součtový vzorec, druhé - pro převrácený argument, třetí - lichost arctg...

vanok · 02. 04. 2016 14:02

Poznamka
Ked sa chces zabavat, mozes skusit aj t=tan x.

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2016 17:42 — Editoval Pritt (30. 03. 2016 19:30)

Neurčitý integrál

#2 30. 03. 2016 20:05 — Editoval Freedy (30. 03. 2016 20:05)

Re: Neurčitý integrál

#3 30. 03. 2016 20:07

Re: Neurčitý integrál

#4 30. 03. 2016 20:08 — Editoval Pritt (30. 03. 2016 20:15)

Re: Neurčitý integrál

#5 30. 03. 2016 20:12

Re: Neurčitý integrál

#6 30. 03. 2016 20:18

Re: Neurčitý integrál

Freedy napsal(a):

#7 30. 03. 2016 20:26

Re: Neurčitý integrál

#8 30. 03. 2016 20:58

Re: Neurčitý integrál

#9 30. 03. 2016 21:11 — Editoval Pritt (30. 03. 2016 21:59)

Re: Neurčitý integrál

#10 31. 03. 2016 09:35

Re: Neurčitý integrál

#11 02. 04. 2016 12:14 — Editoval Pritt (02. 04. 2016 12:17)

Re: Neurčitý integrál

#12 02. 04. 2016 14:02

Re: Neurčitý integrál

Zápatí