Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
#1 01. 04. 2016 23:14
- check_drummer
- Příspěvky: 5509
- Reputace: 106
Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
Ahoj,
dokažte, že se všechny přímky, které dělí dané těleso (v rovině) na dvě části stejného obsahu, protínají v jednom bodě. (Fyzikální interpretace: Těžnice se protínají v jednom bodě.) Předpokládejme, že těleso je omezené a že jeho obsah existuje (tj. jde o "měřitelnou" množinu). Přednost mají důkazy provádějící namísto složitých výpočtů vhodné úvahy.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#2 04. 04. 2016 18:08
Re: Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
↑ check_drummer:
Ahoj,
takhle obecně, tedy pro jakoukoli omezenou měřitelnou množinu, to určitě neplatí. Nezapomněl jsi dodat nějaký předpoklad?
Offline
#3 05. 04. 2016 00:19
- check_drummer
- Příspěvky: 5509
- Reputace: 106
Re: Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
↑ Jenda358:
Ahoj. Pro jakou množinu to např. neplatí?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#4 05. 04. 2016 16:51
- check_drummer
- Příspěvky: 5509
- Reputace: 106
Re: Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
↑ Jenda358:
Je to tak, např. útvar tvořený obvodem čtverce, kde jedna strana chybí, tam je to vidět jasně.
Asi jsem se unáhlil a ztotožnil jsem těžnice a přímky dělící útvar na dvě části stejného obsahu. Otázka je, na jaké části tedy dělí útvar každá těžnice, asi to bude mít něco společného s momenty. (Fyzikálně těžnici chápu tak, že těleso "upevním" v jednom bodě A a nechám jej pouze vlivem gravitace ustálit, a pak těžnice je svislá přímka vedoucí bodem A.)
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 05. 04. 2016 17:39
Re: Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
A co uvažovat pouze otevřené souvislé množiny? Nejsem si jistý, možná už by to prošlo.
Nebo třeba jen konvexní množiny?
Nemám to rozmyšlené, jen se snažím najít nějaké smysluplné zesílení předpokladů úlohy.
Offline
#6 07. 04. 2016 00:47
- check_drummer
- Příspěvky: 5509
- Reputace: 106
Re: Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
↑ Jenda358:
Souvislost nestačí ani s otevřeností - viz ta moje trochu upravená podkova. Konvexita asi také ne - tam bude opravdu podstatný ten moment, jak píšu... Zkrátka to kriterium, že se půlí obsah je samo o sobě slabé...
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#7 07. 04. 2016 13:11
Re: Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
↑ check_drummer:
Jak přesně jsi to s tou "podkovou" myslel?
Tvůj příklad výše zde použít nelze, neboť obvod (hranice) čtverce bez jedné strany samozřejmě není otevřená množina.
Offline
#8 07. 04. 2016 17:06
Re: Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
↑ check_drummer:
Už vím. Asi jsi neměl na mysli přímo hranici toho čtverce, ale spíš takovou trochu "obalenou" hranici, aby celý útvar neměl nulovou plochu. Pak samozřejmě můžeme vzniklý "podkovovitý" útvar brát jako otevřenou množinu a opravdu to bude fungovat jako protipříklad.
Souhlasím, že podstata problému je v tom, že správné kritérium není poloviční obsah, ale vyrovnání jistých momentů.
Offline
#9 07. 04. 2016 18:11
- check_drummer
- Příspěvky: 5509
- Reputace: 106
Re: Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě
↑ Jenda358:
Ano, tak jsem to s tou pdokovou myslel. Myslím si totéž - unáhlil jsem se a ztotožnil těžnici a přímku "půlící" útvar, chvíli počkám a pak asi toto téma zavřu.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Důkaz, že se těžnice protínají v jednom bodě