Matematické Fórum

Klára258 · 03. 04. 2016 23:19

Ahoj, moc z definice nechápu, jaký v tom je rozdíl?
Navíc, moc nechápu jak spočítat např. ortogonální doplněk.. Všude píší že se to řeší jako soustava homogenních rovnic, chápala bych tedy že si vyjádřím zpětnou substitucí jednotlivé proměnné a to je celé. Jenže všude píší výsledek jako součet vektorů násobených skalárem. Navíc ty vektory, nevím jak vyjádřili, jelikož třeba z matice 4x6 jim zbyly 3 řádky, tudíž by na vyřešení potřebovali nějáké parametry, ale ty ve výsledcích vůbec nemají.. Poradil by mne někdo prosím, jak se na tuto problematiku dívat? Díky

DanDan · 03. 04. 2016 23:37 — Editoval DanDan (03. 04. 2016 23:44)

Doplněk je množina všech kolmých vektorů na vektory, které si měla zadané v nějaké jiné množině. Když máš třeba prostor $\mathbb{R}^{3}$ a zadanou jen množinu se dvěma vektory, chceš najít třetí tak, aby generoval celý prostor, tudíž na ně musí být kolmý. Když máš 3D prostor a tři na sebe kolmé vektory, můžeš pomocí nich vyjádřit libovolný vektor z $\mathbb{R}^{3}$ . Proto tam jsou pak ty skaláry například. Lineární obal je množina všech lineárních kombinací těch "základních" vektorů. Doplněk se vlastně počítá podobně jako lineární obal. Aby na sebe byly vektory kolmé, musí být jejich skalární součin rovný nule, proto je potřeba vyřešit homogenní rovnici. Když máš třeba 2 parametry a řešení homogenní soustavy rovnic ve tvaru (t,0,s,2t+s), tak množinou řešení je <(1,0,0,2),(0,0,1,1)>, což je lineární obal. t*(1,0,0,2)+s*(0,0,1,1), kde t, s jsou libovolně parametry. To v tý hranatý závorce je ten doplněk. Když chceš zjistit jádro zobrazení, tak zase řešíš homog. rovnice ve tvaru A*x= 0 Jádro lineárního zobrazení A je taková podmnožina definičního oboru A, kterou A zobrazuje na nulový vektor.

Klára258 · 03. 04. 2016 23:41

Ahá, tak už to v tom vidím, mnohokrát děkuji :) Mohu ještě poprosit o přiblížení trochu toho jádra zobrazení? Moc by jsi mi pomohl :)

Freedy · 03. 04. 2016 23:42

Ahoj,

nechť $V$ je nějaký vektorový prostor nad tělesem T a $\dim V = n$
Nechť $W$ je nějaký jeho podprostor takový, že $W = \langle v_1,...,v_k \rangle$ .
Jestliže hledáš ortogonální doplněk podprostoru W, tak vlastně hledáš takovou posloupnost vektorů (lineárně nezávislou) $(b_1,...,b_{n-k})$ , že platí:
$\langle v_i, b_j\rangle=0$ $\forall i,j$ .

Pokud bych to rozepsal, pak platí:
$(v_1|...|v_k)^T b_1=\vec{o}$
$(v_1|...|v_k)^T b_2=\vec{o}$
...
$(v_1|...|v_k)^T b_{n-k}=\vec{o}$
Tedy hledáš jádro jisté matice, kterou na základě těchto rovnic snadno sestavíš