Matematické Fórum

Martin95

Zdravím, potřeboval bych pomoct s jedním příkladem (resp. se dvěma).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-04/41061_12966137_10206454530387576_2084818921_n.jpg

(v závorce v zadání je napsáno (pokud je to možné)

Jde konkrétně o příklady (a) a (b), kde první má vyjít, že není LK x1,x2,x3 a druhý je LK. Problém je v tom, že nemám tušení jak se k výsledku dopracovat. U prvního příkladu jsem postupoval podle vzoru x=a*x1+b*x2+c*x3..poté mi vyšla matice (nevím jak se tady vytváří matice) :

(-1 1 1 1)
( 0 -1 2 -4)
( 2 0 0 2)
( 3 2 3 1)

Poté jsem zkoušel převést na trojúhelník, ale to se mi nějak ne a ne podařit.

Ten samý příklad mám i u druhého příkladu, kde jsem pohořel na tom samém.

Předem děkuji za pomoc.

Freedy · 07. 04. 2016 17:50

Ahoj,

můžeš to řešit takto, nicméně potom by jsi musel znovu dělat to samé a určovat koeficienty.
Daleko jednodušší postup, je prostě řešit nějakou soustavu lineárních rovnic.

Ukážu například 1, ostatní podobně.
Hledáš takové koeficienty a,b,c že platí
$ax_1+bx_2+cx_3=x$
Tedy řešíš soustavu lineárních rovnic
$\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} =x$
Po rozepsání dostáváš tedy
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & 2 & -4\\ 0 & 0 & 2\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$
Pokud tato soustava lineárních rovnic bude mít řešení, pak je x lineární kombinací vektorů a (a,b,c) je zmíněná lineární kombinace těch vektor.
Pokud tato soustava nebude mít řešení, pak x není LK vektorů x1,x2,x3

Martin95 · 07. 04. 2016 19:07

↑ Freedy:

díky moc, už jsem to pochopil. Nevim, proč jsem si to ztěžoval maticema, když to jde jednoduše soustavou :). Každopádně bych měl ještě otázku.. To, že mi u toho prvního příkladu vyšlo (při dosazovací metoďě) 2=3b a 6=b, to je důvod, proč určíme, že zde není LK že?

Díky :)

Martin95 · 07. 04. 2016 19:10

A vlastně ještě jedna otázka.. jednou jsem slyšel, že když má matice více řádků, jak sloupců, tak jsou vektory automaticky LZ.. Co je na tom pravdy? Teď si to už moc nepamatuju. Díky

Freedy · 08. 04. 2016 00:43

Ahoj,

když mluvíš o maticích, vždy mluv buď o řádkových nebo o sloupcových vektorech.
Pokud se bavíme o řádkových vektorech, tak samozřejmě.
Máme-li matici typu $m×n$ kde $m>n$ pak pro řádkové vektory platí: $v\in T^n$ .
Pokud však máme víc než n vektorů v prostoru dimenze n, pak musí být tyto vektory nutně lineárně závislé, protože dimenze prostoru je maximální počet lineárně nezávislých vektorů tvořící bázi tohoto prostoru. Pokud jich však máme víc, musí být některé nutně lineární kombinací ostatních.

Lze si to představit například tak, že pokud budeš chtít něco popsat v prostoru, tak potřebuješ 3 souřadnice. Tedy 3 vektory. Vezmeš-li si kanonickou bázi, pak pro 1. souřadnici potřebuješ 1 vektor, pro 2. druhý vektor, pro 3. třetí vektor. Pokryl si celý prostor. Nepotřebuješ další vektor. Tedy libovolný další vektor už budeš schopný vyjádřit jako lineární kombinaci těchto 3 vektorů.

Martin95 · 08. 04. 2016 12:14

↑ Freedy:

už tomu rozumím, díky moc za ochotu :)

Sarka123 · 09. 04. 2016 11:32

↑ Freedy[/[re]p512300:↑ Freedy:

Ahoj,

já jsem asi méně chápající :-) můžete mi prosím někdo vysvětlit, jak můžu přes tu soustavu řešit čtyři rovnice o třech neznámých?

Mám přeci jen 3 neznámé, ale 4 souřadnice vektoru.

Moc díky

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2016 17:06 — Editoval Martin95 (07. 04. 2016 17:08)

Lineární kombinace

#2 07. 04. 2016 17:50

Re: Lineární kombinace

#3 07. 04. 2016 19:07

Re: Lineární kombinace

#4 07. 04. 2016 19:10

Re: Lineární kombinace

#5 08. 04. 2016 00:43

Re: Lineární kombinace

#6 08. 04. 2016 12:14

Re: Lineární kombinace

#7 09. 04. 2016 11:32

Re: Lineární kombinace

Zápatí